ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Lineare Einfachregression</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Lineare Einfachregression</h1>

</header>

</div>

In der <a href="Statistik" title="Statistik">Statistik</a> ist die lineare Einfachregression, auch einfache lineare Regression (kurz: ELR), selten univariate lineare Regression genannt, ein <a href="Regressionsanalyse" title="Regressionsanalyse">regressionsanalytisches</a> Verfahren und ein Spezialfall der <a href="Lineare_Regression" title="Lineare Regression">linearen Regression</a>. Die Bezeichnung einfach gibt an, dass bei der linearen Einfachregression nur eine <a href="Abh%C3%A4ngige_und_unabh%C3%A4ngige_Variable" title="Abhängige und unabhängige Variable">unabhängige Variable</a> verwendet wird, um die Zielgröße zu erklären. Ziel ist die <a href="Sch%C3%A4tzfunktion" title="Schätzfunktion">Schätzung</a> von <a href="Y-Achsenabschnitt" title="Y-Achsenabschnitt">Achsenabschnitt</a> und <a href="Steigung" title="Steigung">Steigung</a> der Regressionsgeraden sowie die <a href="Erwartungstreue_Sch%C3%A4tzung_der_Varianz_der_St%C3%B6rgr%C3%B6%C3%9Fen" title="Erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen">Schätzung der Varianz der Störgrößen</a>.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einführung_in_die_Problemstellung">Einführung in die Problemstellung</h2></div>

Das Ziel einer Regression ist es, eine <a href="Abh%C3%A4ngige_und_unabh%C3%A4ngige_Variable" title="Abhängige und unabhängige Variable">abhängige Variable</a> durch eine oder mehrere unabhängige Variablen zu erklären. Bei der einfachen linearen Regression wird eine abhängige Variable durch lediglich eine unabhängige Variable erklärt. Das Modell der linearen Einfachregression geht daher von zwei metrischen Größen aus: einer Einflussgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> (erklärende Variable, unabhängige Variable, Regressor) und einer Zielgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> (abhängige Variable, erklärte Variable, Regressand). Des Weiteren liegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> <a href="Geordnetes_Paar" title="Geordnetes Paar">Paare</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\dotsc ,(x_{n},y_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\dotsc ,(x_{n},y_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a86f490954d00023e6e6ec2a8f969c085424cc47.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\dotsc ,(x_{n},y_{n})}" loading="lazy"> von Messwerten vor (die Darstellung der Messwerte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\dotsc ,(x_{n},y_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\dotsc ,(x_{n},y_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a86f490954d00023e6e6ec2a8f969c085424cc47.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\dotsc ,(x_{n},y_{n})}" loading="lazy"> im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Diagramm wird im Folgenden als <a href="Streudiagramm" title="Streudiagramm">Streudiagramm</a> bezeichnet), die in einem <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">funktionalen</a> Zusammenhang stehen, der sich aus einem systematischen und einem <a href="Stochastik" title="Stochastik">stochastischen</a> Teil zusammensetzt:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mtext>systematische Komponente</mtext>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</munder>

</mrow>

<mtext>stochastische Komponente</mtext>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}=\underbrace {f(x_{i};\beta _{0},\beta _{1},\ldots )} _{\text{systematische Komponente}}+\underbrace {\varepsilon _{i}} _{\text{stochastische Komponente}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb4fb432d2970bfd8535eb1738f1e7de859de4d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:46.702ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}=\underbrace {f(x_{i};\beta _{0},\beta _{1},\ldots )} _{\text{systematische Komponente}}+\underbrace {\varepsilon _{i}} _{\text{stochastische Komponente}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die stochastische Komponente beschreibt nur noch zufällige Einflüsse (z. B. <a href="Zuf%C3%A4llige_Abweichung" title="Zufällige Abweichung">zufällige Abweichungen</a> wie <a href="Messfehler" class="mw-redirect" title="Messfehler">Messfehler</a>), alle systematischen Einflüsse sind in der systematischen Komponente enthalten. Die lineare Einfachregression stellt den Zusammenhang zwischen der Einfluss- und der Zielgröße mithilfe von zwei festen, unbekannten, reellen <a href="Regressionsparameter" title="Regressionsparameter">Parametern</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeeccd8b585b819e38f9c1fe5e9816a3ea01804c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}}" loading="lazy"> auf lineare Weise her, d. h., die Regressionsfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\cdot )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\cdot )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ec4adac182c93a76f0238a839ebb10b124e54c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.735ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(\cdot )}" loading="lazy"> wird wie folgt <a href="Spezifikation_(Statistik)" title="Spezifikation (Statistik)">spezifiziert</a>:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{i};\beta _{0},\beta _{1})=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f43c36ab0a9d4bc29a7cfbfa8c7f040cde7140d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.833ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{i};\beta _{0},\beta _{1})=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}}" loading="lazy"> (<a href="Lineare_Funktion" title="Lineare Funktion">Linearität</a>)</dd></dl>

Dadurch ergibt sich das Modell der linearen Einfachregression als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b31a9ceae6cccf57824b8d73b717066573ce8dd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.682ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}}" loading="lazy">. Hierbei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d57be496fff95ee2a97ee43c7f7fe244b4dbf8ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.15ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}}" loading="lazy"> die abhängige Variable und stellt eine <a href="Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariable</a> dar. Die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy">-Werte sind beobachtbare, nicht zufällige Messwerte der bekannten erklärenden Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">; die Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeeccd8b585b819e38f9c1fe5e9816a3ea01804c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}}" loading="lazy"> sind unbekannte <a href="Skalar_(Mathematik)" title="Skalar (Mathematik)">skalare</a> Regressionsparameter und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00e1b6ad3cbad4af49bf21a3ad2dc379ff045079.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.883ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}}" loading="lazy"> ist eine zufällige und unbeobachtbare Störgröße. Bei der einfachen linearen Regression wird also eine Gerade so durch das Streudiagramm gelegt, dass der lineare Zusammenhang zwischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> möglichst gut beschrieben wird.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bestimmtheitsmaß">Bestimmtheitsmaß</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Bestimmtheitsma%C3%9F" title="Bestimmtheitsmaß">Bestimmtheitsmaß</a></div>

Das Bestimmtheitsmaß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{2}=1-SQR/SQT}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{2}=1-SQR/SQT}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/507e699b127b85d604ea795274b3a0563ff0eb35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.157ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle R^{2}=1-SQR/SQT}" loading="lazy"> misst, wie gut die Messwerte zu einem Regressionsmodell passen (<a href="Anpassungsg%C3%BCte" title="Anpassungsgüte">Anpassungsgüte</a>). Es ist definiert als der Anteil der „<a href="Erkl%C3%A4rte_Quadratsumme" title="Erklärte Quadratsumme">erklärten Variation</a>“ an der „<a href="Totale_Quadratsumme" title="Totale Quadratsumme">Gesamtvariation</a>“ und liegt daher zwischen:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\,\%}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5da88153eb438a46ebede115ff2c92f1d79b3791.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.485ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0\,\%}" loading="lazy"> (oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">): kein linearer Zusammenhang und</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 100\,\%}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ab8355a5c645ca40c6f37fdd51598571bfbc96f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.81ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 100\,\%}" loading="lazy"> (oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy">): perfekter linearer Zusammenhang.</li></ul>

Je näher das Bestimmtheitsmaß am Wert Eins liegt, desto höher ist die „Bestimmtheit“ bzw. „Güte“ der Anpassung. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{2}=0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{2}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88561848a2688e88bba86e42a9e46916cd2ffc5f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.079ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle R^{2}=0}" loading="lazy">, dann besteht das „beste“ <a href="Lineares_Modell" title="Lineares Modell">lineare Regressionsmodell</a> nur aus dem Achsenabschnitt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e2f57fcdff899b84dfb8790e48cd31fde3008dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}" loading="lazy">, während <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}=0}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6596dee186abded168f6320e13adca24a2ac8c06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.766ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}=0}" loading="lazy"> ist. Je näher der Wert des Bestimmtheitsmaß an <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> liegt, desto besser erklärt die Regressionsgerade das <a href="Wahres_Modell" title="Wahres Modell">wahre Modell</a>. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{2}=1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{2}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ce9d1e66f69eeba4331b37453360af049f65383.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.079ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle R^{2}=1}" loading="lazy">, dann lässt sich die abhängige Variable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> vollständig durch das lineare Regressionsmodell erklären. Anschaulich liegen dann die Messpunkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3459c38f5205bf3b65166ca15cdde5574997413.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}" loading="lazy"> alle auf der nichthorizontalen Regressionsgeraden. Somit liegt bei diesem Fall kein stochastischer Zusammenhang vor, sondern ein deterministischer.

Eine häufige Fehlinterpretation eines niedrigen Bestimmtheitsmaßes ist es, dass es keinen Zusammenhang zwischen den Variablen gibt. Tatsächlich wird nur der lineare Zusammenhang gemessen, d. h., obwohl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ce07e278be3e058a6303de8359f8b4a4288264a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.818ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle R^{2}}" loading="lazy"> klein ist, kann es trotzdem einen starken nichtlinearen Zusammenhang geben. Umgekehrt muss ein hoher Wert des Bestimmtheitsmaßes nicht bedeuten, dass ein nichtlineares Regressionsmodell nicht noch besser als ein lineares Modell ist.

Bei einer einfachen linearen Regression entspricht das Bestimmtheitsmaß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ce07e278be3e058a6303de8359f8b4a4288264a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.818ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle R^{2}}" loading="lazy"> dem Quadrat des <a href="Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient" class="mw-redirect" title="Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient">Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{xy}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{xy}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eca3bfa846f27e4f6c993bd259805d3ce59f4882.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.038ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r_{xy}}" loading="lazy"> (siehe <a href="Bestimmtheitsma%C3%9F#Als_quadrierter_Korrelationskoeffizient" title="Bestimmtheitsmaß">Bestimmtheitsmaß als quadrierter Korrelationskoeffizient</a>).

Im oben genannten Beispiel kann die <a href="Anpassungsg%C3%BCte" title="Anpassungsgüte">Güte</a> des Regressionsmodells mit Hilfe des <a href="Bestimmtheitsma%C3%9F" title="Bestimmtheitsmaß">Bestimmtheitsmaßes</a> überprüft werden. Für das Beispiel ergibt sich für die <a href="Residuenquadratsumme" title="Residuenquadratsumme">Residuenquadratsumme</a> und die <a href="Totale_Quadratsumme" title="Totale Quadratsumme">totale Quadratsumme</a>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle SQR=\sum _{i=1}^{6}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}=5{,}98\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e29774cf4d533ac19310c0d9d31385cfb6687b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:30.855ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle SQR=\sum _{i=1}^{6}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}=5{,}98\quad }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad SQT=\sum _{i=1}^{6}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}=60}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad SQT=\sum _{i=1}^{6}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}=60}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28e02d45dec428121d479f3cff88568791c1385f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:28.097ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \quad SQT=\sum _{i=1}^{6}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}=60}" loading="lazy"></dd></dl>

und das Bestimmtheitsmaß zu

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{2}=1-{\frac {\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{6}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{6}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}=1-{\frac {5{,}98}{60}}\approx 0{,}90}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f8bb6c4b09cc6d36ff719012a8dc5d03cbeee8f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:46.06ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle R^{2}=1-{\frac {\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{6}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{6}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}=1-{\frac {5{,}98}{60}}\approx 0{,}90}" loading="lazy">.</dd></dl>

Das heißt, ca. 90 % der Variation bzw. Streuung in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> können mithilfe des Regressionsmodells „erklärt“ werden, nur 10 % der Streuung bleiben „unerklärt“.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Das_Modell">Das Modell</h2></div>

Im Regressionsmodell werden die Zufallskomponenten mit Hilfe von <a href="Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariablen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00e1b6ad3cbad4af49bf21a3ad2dc379ff045079.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.883ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}}" loading="lazy"> modelliert. Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00e1b6ad3cbad4af49bf21a3ad2dc379ff045079.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.883ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}}" loading="lazy"> eine Zufallsvariable ist, dann ist es auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d57be496fff95ee2a97ee43c7f7fe244b4dbf8ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.15ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}}" loading="lazy">. Die beobachteten Werte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67d30d30b6c2dbe4d6f150d699de040937ecc95f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.939ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{i}}" loading="lazy"> werden als <a href="Realisierung_(Stochastik)" title="Realisierung (Stochastik)">Realisierungen</a> der Zufallsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d57be496fff95ee2a97ee43c7f7fe244b4dbf8ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.15ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}}" loading="lazy"> aufgefasst.

Daraus ergibt sich das einfache lineare Regressionsmodell:<a href="#cite_note-2">[2]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\ x_{i}+\varepsilon _{i},\quad i=1,\dotsc ,n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1c87f44d963e8ed365653d6d7c3f5cd27a1ad8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:35.256ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\ x_{i}+\varepsilon _{i},\quad i=1,\dotsc ,n}" loading="lazy"> (mit <a href="Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariablen</a>) bzw.</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\ x_{i}+\varepsilon _{i},\quad i=1,\dotsc ,n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/693600a74681efe4f46416403b5e4e007b6c5d5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:35.044ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\ x_{i}+\varepsilon _{i},\quad i=1,\dotsc ,n}" loading="lazy"> (mit deren Realisierungen).</dd></dl>

Bildlich gesprochen wird eine <a href="Gerade" title="Gerade">Gerade</a> durch das <a href="Streudiagramm" title="Streudiagramm">Streudiagramm</a> der Messung gelegt. In der gängigen Literatur wird die Gerade oft durch den <a href="Y-Achsenabschnitt" title="Y-Achsenabschnitt">Achsenabschnitt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy"> und den Regressions- bzw. Steigungsparameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeeccd8b585b819e38f9c1fe5e9816a3ea01804c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}}" loading="lazy"> beschrieben. Die abhängige Variable wird in diesem Kontext oft auch <a href="Exogene_und_endogene_Variable" title="Exogene und endogene Variable">endogene Variable</a> genannt. Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00e1b6ad3cbad4af49bf21a3ad2dc379ff045079.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.883ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}}" loading="lazy"> eine additive stochastische Störgröße, die Abweichungen vom idealen Zusammenhang – also der Geraden – achsenparallel misst.

Anhand der Messwerte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\dotsc ,(x_{n},y_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\dotsc ,(x_{n},y_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a86f490954d00023e6e6ec2a8f969c085424cc47.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\dotsc ,(x_{n},y_{n})}" loading="lazy"> werden die Regressionsparameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy"> und die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeeccd8b585b819e38f9c1fe5e9816a3ea01804c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}}" loading="lazy"> geschätzt. So erhält man die <a href="Stichproben-Regressionsfunktion" title="Stichproben-Regressionsfunktion">Stichproben-Regressionsfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {y}}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {y}}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b580baa6db0c6c4388d4e5bd36c3b2f0165341c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.582ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {y}}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x}" loading="lazy">. Im Gegensatz zur unabhängigen und abhängigen Variablen sind die Zufallskomponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00e1b6ad3cbad4af49bf21a3ad2dc379ff045079.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.883ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}}" loading="lazy"> und deren Realisierungen nicht direkt beobachtbar. Ihre geschätzten Realisierungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/281fe6c4401f6238a1ced7b64c863cd83f7837e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.156ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}}" loading="lazy"> sind nur indirekt beobachtbar und heißen <a href="St%C3%B6rgr%C3%B6%C3%9Fe_und_Residuum" title="Störgröße und Residuum">Residuen</a>. Sie sind berechnete Größen und messen den vertikalen Abstand zwischen Beobachtungspunkt und der geschätzten <a href="Regressionsanalyse" title="Regressionsanalyse">Regressionsgerade</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Modellannahmen">Modellannahmen</h2></div>

Um die Zerlegung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d57be496fff95ee2a97ee43c7f7fe244b4dbf8ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.15ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}}" loading="lazy"> in eine systematische und zufällige Komponente zu sichern sowie gute Schätzeigenschaften für die Schätzung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e2f57fcdff899b84dfb8790e48cd31fde3008dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> der Regressionsparameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeeccd8b585b819e38f9c1fe5e9816a3ea01804c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}}" loading="lazy"> zu haben, sind einige Annahmen bezüglich der Störgrößen sowie der unabhängigen Variable nötig.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Annahmen_über_die_unabhängige_Variable">Annahmen über die unabhängige Variable</h3></div>

In Bezug auf die unabhängige Variable werden folgende Annahmen getroffen:<a href="#cite_note-Auer49-3">[3]</a>

<dl><dt>Die Werte der unabhängigen Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy"> sind deterministisch, d. h. sie sind fest gegeben</dt>

<dd>Sie können also wie in einem Experiment kontrolliert werden und sind damit keine Zufallsvariablen (<a href="Endogenit%C3%A4t_und_Exogenit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Endogenität und Exogenität">Exogenität der Regressoren</a>). Wären die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy"> Zufallsvariablen, z. B. wenn die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy"> auch nur fehlerbehaftet gemessen werden können, dann wäre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i}+\varepsilon _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i}+\varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14a1f40e2f129e42700fb65bafdf93e803631c00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.277ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i}+\varepsilon _{i}}" loading="lazy"> und die Verteilung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d57be496fff95ee2a97ee43c7f7fe244b4dbf8ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.15ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}}" loading="lazy"> sowie die Verteilungsparameter (<a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> und Varianz) würden nicht nur von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00e1b6ad3cbad4af49bf21a3ad2dc379ff045079.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.883ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}}" loading="lazy"> abhängen

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (Y_{i})=\beta _{0}+\beta _{1}\operatorname {E} (X_{i})+\operatorname {E} (\varepsilon _{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20a2af74a279bdea4ac02d8f249e559bdf16486d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.84ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (Y_{i})=\beta _{0}+\beta _{1}\operatorname {E} (X_{i})+\operatorname {E} (\varepsilon _{i})}" loading="lazy">.</dd></dl></dd>

<dd>Mit speziellen Regressionsverfahren kann dieser Fall aber auch behandelt werden, siehe z. B. <a href="Regression_mit_stochastischen_Regressoren" title="Regression mit stochastischen Regressoren">Regression mit stochastischen Regressoren</a>.</dd>

<dt>Stichprobenvariation in der unabhängigen Variablen</dt>

<dd>Die Realisierungen der unabhängigen Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/737e02a5fbf8bc31d443c91025339f9fd1de1065.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.11ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}" loading="lazy"> sind nicht alle gleich.<a href="#cite_note-JW-4">[4]</a> Man schließt also den unwahrscheinlichen Fall aus, dass die unabhängige Variable keinerlei Variabilität aufweist, d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}={\overline {x}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}={\overline {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6c2fe4c348078c6605811800c11ac348809546a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.878ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}={\overline {x}}}" loading="lazy">. Dies impliziert, dass die <a href="Summe_der_Abweichungsquadrate" title="Summe der Abweichungsquadrate">Quadratsumme</a> der unabhängigen Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3063e2523a7b45788f3a43bd57154a3d85ef8d0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:15.533ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}" loading="lazy"> positiv sein muss.<a href="#cite_note-5">[5]</a> Diese Annahme wird im Schätzprozess benötigt.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Annahmen_über_die_unabhängige_und_abhängige_Variable">Annahmen über die unabhängige und abhängige Variable</h3></div>

<dl><dt>Der wahre Zusammenhang zwischen den Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67d30d30b6c2dbe4d6f150d699de040937ecc95f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.939ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{i}}" loading="lazy"> ist linear</dt>

<dd>Die Regressionsgleichung der einfachen linearen Regression muss linear in den Parametern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeeccd8b585b819e38f9c1fe5e9816a3ea01804c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}}" loading="lazy"> sein, kann aber nichtlineare Transformationen der unabhängigen und der abhängigen Variablen beinhalten. Beispielsweise sind die Transformationen</dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log(y_{i})=\beta _{0}+\beta _{1}\log(x_{i})+\varepsilon _{i}\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2877cd91af51d48614887b633c404efb01dc2fdd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.742ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \log(y_{i})=\beta _{0}+\beta _{1}\log(x_{i})+\varepsilon _{i}\quad }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}{\frac {x_{i1}+x_{i2}}{2}}+\varepsilon _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}{\frac {x_{i1}+x_{i2}}{2}}+\varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/356957c69094c28b43e9f7e459e044e5c5421aa3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:29.243ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \quad y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}{\frac {x_{i1}+x_{i2}}{2}}+\varepsilon _{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

zulässig, da sie ebenfalls <a href="Lineares_Modell" title="Lineares Modell">lineare Modelle</a> darstellen. Bei transformierten Daten ist zu beachten, dass sie die Interpretation der Regressionsparameter ändert.

<dl><dt>Vorliegen einer Zufallsstichprobe</dt></dl>

Es liegt eine <a href="Zufallsstichprobe" title="Zufallsstichprobe">Zufallsstichprobe</a> des Umfangs <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X_{1},Y_{1}),\ldots ,(X_{n},Y_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X_{1},Y_{1}),\ldots ,(X_{n},Y_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47b25ab96a501522023b70adad907387d66aba9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.96ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X_{1},Y_{1}),\ldots ,(X_{n},Y_{n})}" loading="lazy"> mit Realisierungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3459c38f5205bf3b65166ca15cdde5574997413.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}" loading="lazy"> vor, die dem wahren Modell <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dde52cd699bc5c365b59d36f1dd832bc4f68aa0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.471ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}}" loading="lazy"> folgt.<a href="#cite_note-JW-4">[4]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Annahmen_über_die_Störgrößen">Annahmen über die Störgrößen</h3></div>

In Bezug auf die Störgrößen werden folgende Annahmen getroffen:<a href="#cite_note-Auer49-3">[3]</a>

<dl><dt>Der Erwartungswert der Störgrößen ist Null:</dt>

<dd>Wenn das Modell einen – von Null verschiedenen – Achsenabschnitt enthält, ist es vernünftig, dass man zumindest fordert, dass der <a href="Mittelwert" title="Mittelwert">Mittelwert</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00e1b6ad3cbad4af49bf21a3ad2dc379ff045079.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.883ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}}" loading="lazy"> in der <a href="Grundgesamtheit" title="Grundgesamtheit">Grundgesamtheit</a> Null ist und sich die Schwankungen der einzelnen Störgrößen über die Gesamtheit der Beobachtungen ausgleichen. Mathematisch bedeutet das, dass der <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> der Störgrößen Null ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} (\varepsilon _{i})=0\quad ,i=1,\ldots ,n}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (\varepsilon _{i})=0\quad ,i=1,\ldots ,n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff2ca29a8bd49682ef96e66e0bb903265b221859.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.529ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (\varepsilon _{i})=0\quad ,i=1,\ldots ,n}" loading="lazy">. Diese Annahme macht keine Aussage über den Zusammenhang zwischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy">, sondern gibt lediglich eine Aussage über die Verteilung der unsystematischen Komponente in der Grundgesamtheit.<a href="#cite_note-6">[6]</a> Dies bedeutet, dass das betrachte Modell im Mittel dem wahren Zusammenhang entspricht. Wäre der Erwartungswert nicht Null, dann würde man im Mittel einen falschen Zusammenhang schätzen. Zur Verletzung dieser Annahme kann es kommen, wenn eine relevante Variable im Regressionsmodell nicht berücksichtigt wurde (siehe <a href="Verzerrung_durch_ausgelassene_Variablen" title="Verzerrung durch ausgelassene Variablen">Verzerrung durch ausgelassene Variablen</a>).</dd>

<dt>Die Störgrößen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a4aa163113fba8c221b63a70f9775b57bef13d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.618ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{n}}" loading="lazy"> sind voneinander <a href="Stochastisch_unabh%C3%A4ngige_Zufallsvariablen" title="Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen">unabhängige</a> Zufallsvariablen</dt>

<dd>Wären die Störgrößen nicht unabhängig, dann könnte man einen systematischen Zusammenhang zwischen ihnen formulieren. Das würde der Zerlegung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> in eine eindeutige systematische und zufällige Komponente widersprechen. Es wird in der <a href="Zeitreihenanalyse" title="Zeitreihenanalyse">Zeitreihenanalyse</a> z. B. oft ein Zusammenhang der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{i}=f(\varepsilon _{i-1},\varepsilon _{i-2},\ldots )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}=f(\varepsilon _{i-1},\varepsilon _{i-2},\ldots )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da2123b5bc4a324815cb7755400279da9e32c63a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.828ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}=f(\varepsilon _{i-1},\varepsilon _{i-2},\ldots )}" loading="lazy"> betrachtet.</dd>

<dd>Oft wird auch nur die <a href="Unkorreliertheit" class="mw-redirect" title="Unkorreliertheit">Unkorreliertheit</a> der Störgrößen gefordert: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Cov} (\varepsilon _{i},\varepsilon _{j})=\operatorname {E} [(\varepsilon _{i}-\operatorname {E} (\varepsilon _{i}))((\varepsilon _{j}-\operatorname {E} (\varepsilon _{j}))]=\operatorname {E} (\varepsilon _{i}\varepsilon _{j})=0\quad \forall i\neq j,\;i=1,\ldots ,n,\;j=1,\ldots ,n}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Cov} (\varepsilon _{i},\varepsilon _{j})=\operatorname {E} [(\varepsilon _{i}-\operatorname {E} (\varepsilon _{i}))((\varepsilon _{j}-\operatorname {E} (\varepsilon _{j}))]=\operatorname {E} (\varepsilon _{i}\varepsilon _{j})=0\quad \forall i\neq j,\;i=1,\ldots ,n,\;j=1,\ldots ,n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7c55c63cc247f0e6ee0b6a1b2aab78176723913.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:91.392ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Cov} (\varepsilon _{i},\varepsilon _{j})=\operatorname {E} [(\varepsilon _{i}-\operatorname {E} (\varepsilon _{i}))((\varepsilon _{j}-\operatorname {E} (\varepsilon _{j}))]=\operatorname {E} (\varepsilon _{i}\varepsilon _{j})=0\quad \forall i\neq j,\;i=1,\ldots ,n,\;j=1,\ldots ,n}" loading="lazy"> oder äquivalent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Cov} (Y_{i},Y_{j})=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Cov} (Y_{i},Y_{j})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d73dc33d3369999fe73a37348d1165defa1630df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.583ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Cov} (Y_{i},Y_{j})=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Unabhängige Zufallsvariablen sind immer auch unkorreliert. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Abwesenheit von <a href="Autokorrelation" title="Autokorrelation">Autokorrelation</a>.

<dl><dt>Eine konstante <a href="Varianz_(Stochastik)" title="Varianz (Stochastik)">Varianz</a> (<a href="Homoskedastizit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Homoskedastizität">Homoskedastizität</a>) der Störgrößen: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall i:\operatorname {Var} (\varepsilon _{i})=\operatorname {Var} (Y_{i})=\sigma ^{2}=\mathrm {konst.} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall i:\operatorname {Var} (\varepsilon _{i})=\operatorname {Var} (Y_{i})=\sigma ^{2}=\mathrm {konst.} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ae800af7520bd4134028d6d521d74bb0ed778ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.149ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \forall i:\operatorname {Var} (\varepsilon _{i})=\operatorname {Var} (Y_{i})=\sigma ^{2}=\mathrm {konst.} }" loading="lazy"></dt>

<dd>Wäre die Varianz nicht konstant, ließe sich evtl. die Varianz systematisch modellieren, d. h., dies widerspräche Zerlegung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d57be496fff95ee2a97ee43c7f7fe244b4dbf8ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.15ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}}" loading="lazy"> in eine eindeutige systematische und zufällige Komponente. Zudem lässt sich zeigen, dass sich die Schätzeigenschaften der Regressionsparameter verbessern lassen, wenn die Varianz nicht konstant ist.</dd></dl>

Alle oben genannten Annahmen über die Störgrößen lassen sich so zusammenfassen:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}\;{\stackrel {\mathrm {u.i.v.} }{\sim }}\;(0,\sigma ^{2})\quad ,i=1,\ldots ,n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d506e754306d44f317d622a0535286670fb641a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.168ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}\;{\stackrel {\mathrm {u.i.v.} }{\sim }}\;(0,\sigma ^{2})\quad ,i=1,\ldots ,n}" loading="lazy">,</dd></dl>

d. h., alle Störgrößen sind <a href="Unabh%C3%A4ngig_und_identisch_verteilte_Zufallsvariablen" title="Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen">unabhängig und identisch verteilt</a> mit Erwartungswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} (\varepsilon _{i})=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (\varepsilon _{i})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e22190efaab6968390fcfa282f9bfba8bbdcbc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.536ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (\varepsilon _{i})=0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Var} (\varepsilon _{i})=\sigma ^{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Var} (\varepsilon _{i})=\sigma ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3ad4661f4e0bb9052f8f9946a45008062e9cc1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.993ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Var} (\varepsilon _{i})=\sigma ^{2}}" loading="lazy">.

<dl><dt>Optionale Annahme: Die Störgrößen sind <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">normalverteilt</a>, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{i}\;\sim \;{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})\quad ,i=1,\ldots ,n}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}\;\sim \;{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})\quad ,i=1,\ldots ,n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b9865582e491dbc18208e458e12552ba937c17a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.93ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}\;\sim \;{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})\quad ,i=1,\ldots ,n}" loading="lazy"></dt>

<dd>Diese Annahme wird nur benötigt um z. B. <a href="Konfidenzintervall" title="Konfidenzintervall">Konfidenzintervalle</a> zu berechnen bzw. um Tests für die Regressionsparameter durchzuführen.</dd></dl>

Wird die Normalverteilung der Störgrößen angenommen, so folgt, dass auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d57be496fff95ee2a97ee43c7f7fe244b4dbf8ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.15ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}}" loading="lazy"> normalverteilt ist:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}\;\sim \;{\mathcal {N}}\left(\operatorname {E} (Y_{i}),\operatorname {Var} (Y_{i})\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ade7751f7dd49442210745673f5d54d3b4e8cfae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.364ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}\;\sim \;{\mathcal {N}}\left(\operatorname {E} (Y_{i}),\operatorname {Var} (Y_{i})\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Verteilung der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d57be496fff95ee2a97ee43c7f7fe244b4dbf8ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.15ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}}" loading="lazy"> hängt also von der Verteilung der Störgrößen ab. Der Erwartungswert der abhängigen Variablen lautet:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (Y_{i})=\operatorname {E} \left(\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}\right)=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15184fbb785a09056ce9c87b01e344d4188a84f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.275ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (Y_{i})=\operatorname {E} \left(\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}\right)=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

Da die einzige zufällige Komponente in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d57be496fff95ee2a97ee43c7f7fe244b4dbf8ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.15ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}}" loading="lazy"> die Störgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00e1b6ad3cbad4af49bf21a3ad2dc379ff045079.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.883ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}}" loading="lazy"> ist, gilt für die Varianz der abhängigen Variablen, dass sie gleich der Varianz der Störgrößen entspricht:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Var} (Y_{i})=\operatorname {Var} (\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i})=\operatorname {Var} (\varepsilon _{i})=\sigma ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08ad7c025f098f5d5ed1665c41a46fad85c5c6f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.026ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Var} (Y_{i})=\operatorname {Var} (\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i})=\operatorname {Var} (\varepsilon _{i})=\sigma ^{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Varianz der Störgrößen spiegelt somit die Variabilität der abhängigen Variablen um ihren Mittelwert wider. Damit ergibt sich für die Verteilung der abhängigen Variablen:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}\;\sim \;{\mathcal {N}}\left(\beta _{0}+\beta _{1}x_{i},\sigma ^{2}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c383b6d8e4df6dc00a3273e0cc3a58e7ce24ec3c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:24.459ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}\;\sim \;{\mathcal {N}}\left(\beta _{0}+\beta _{1}x_{i},\sigma ^{2}\right)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Aufgrund der Annahme, dass die Störgrößen im Mittel Null sein müssen, muss der Erwartungswert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d57be496fff95ee2a97ee43c7f7fe244b4dbf8ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.15ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}}" loading="lazy"> der Regressionsfunktion der Grundgesamtheit

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec4c5f71f186c6e924f2fa5109ec9969a0d16163.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.747ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

entsprechen. D. h., mit der Annahme über die Störgrößen schlussfolgert man, dass das Modell im Mittel korrekt sein muss. Wenn zusätzlich zu den anderen Annahmen auch die Annahme der Normalverteiltheit gefordert wird spricht man auch vom <a href="Klassisches_lineares_Modell_der_Normalregression" title="Klassisches lineares Modell der Normalregression">klassischen linearen Modell</a> (siehe auch <a href="#Klassisches_lineares_Modell_der_Normalregression">#Klassisches lineares Modell der Normalregression</a>).

Im Rahmen der <a href="Regressionsdiagnostik" title="Regressionsdiagnostik">Regressionsdiagnostik</a> sollen die Voraussetzungen des Regressionsmodells, soweit möglich, geprüft werden. Dazu zählen die Überprüfung, ob die Störgrößen keine Struktur (die dann nicht zufällig wäre) haben.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schätzung_der_Regressionsparameter_und_der_Störgrößen">Schätzung der Regressionsparameter und der Störgrößen</h2></div>

Die Schätzung der Regressionsparameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeeccd8b585b819e38f9c1fe5e9816a3ea01804c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}}" loading="lazy"> und der Störgrößen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00e1b6ad3cbad4af49bf21a3ad2dc379ff045079.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.883ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}}" loading="lazy"> geschieht in zwei Schritten:

<ol><li>Zunächst werden mit Hilfe der <a href="Methode_der_kleinsten_Quadrate" title="Methode der kleinsten Quadrate">Kleinste-Quadrate-Schätzung</a> die unbekannten Regressionsparameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeeccd8b585b819e38f9c1fe5e9816a3ea01804c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}}" loading="lazy"> geschätzt. Dabei wird die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen dem geschätzten Regressionswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {y}}_{i}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x_{i}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {y}}_{i}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/859c89c9b402b3873cfd8af5ab59a91ef98d85c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.181ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {y}}_{i}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x_{i}}" loading="lazy"> und dem beobachteten Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67d30d30b6c2dbe4d6f150d699de040937ecc95f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.939ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{i}}" loading="lazy"> minimiert.<a href="#cite_note-wooldridge-7">[7]</a> Dabei ergeben sich folgende Formeln:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

</mrow>

</msubsup>

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</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

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</mrow>

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</mrow>

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</msup>

</mrow>

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</mrow>

<mfrac>

<mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}={\frac {SP_{xy}}{SQ_{x}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d99f7e8800d66bff90810c45ff4c7a729db4125.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:36.803ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}={\frac {SP_{xy}}{SQ_{x}}}}" loading="lazy"></dd>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}={\overline {y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69ef46ff2bccf50d4418e196bdf474b6b4e71468.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.676ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}={\overline {y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}}}" loading="lazy"></dd></dl></li>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e2f57fcdff899b84dfb8790e48cd31fde3008dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> berechnet, so kann das Residuum geschätzt werden als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}=y_{i}-{\hat {y}}_{i}=y_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\beta }}_{1}x_{i}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}=y_{i}-{\hat {y}}_{i}=y_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\beta }}_{1}x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1654a7b47b71fb58463002cf2da6a3ea72008bdf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.994ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}=y_{i}-{\hat {y}}_{i}=y_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\beta }}_{1}x_{i}}" loading="lazy">.</li></ol>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Herleitung_der_Formeln_für_die_Regressionsparameter">Herleitung der Formeln für die Regressionsparameter</h3></div>

Um nun die Parameter der Gerade zu bestimmen, wird die Zielfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> (<a href="Fehlerquadratsumme" class="mw-redirect" title="Fehlerquadratsumme">Fehlerquadratsumme</a> bzw. die <a href="Residuenquadratsumme" title="Residuenquadratsumme">Residuenquadratsumme</a>) minimiert<a href="#cite_note-8">[8]</a><a href="#cite_note-9">[9]</a>

<mrow>

<mrow>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\hat {\beta }}_{0},{\hat {\beta }}_{1}\right)={\underset {\beta _{0},\beta _{1}\in \mathbb {R} }{\arg \min }}\,Q(\beta _{0},\beta _{1})={\underset {\beta _{0},\beta _{1}\in \mathbb {R} }{\arg \min }}\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-(\beta _{0}+\beta _{1}x_{i})\right)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c685464e9b6a238ac6d5b2c7dfb678225bb87f43.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:63.115ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \left({\hat {\beta }}_{0},{\hat {\beta }}_{1}\right)={\underset {\beta _{0},\beta _{1}\in \mathbb {R} }{\arg \min }}\,Q(\beta _{0},\beta _{1})={\underset {\beta _{0},\beta _{1}\in \mathbb {R} }{\arg \min }}\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-(\beta _{0}+\beta _{1}x_{i})\right)^{2}}" loading="lazy"><a href="#cite_note-10">[10]</a></dd></dl>

Die Bedingungen erster Ordnung (<a href="Notwendige_und_hinreichende_Bedingung" title="Notwendige und hinreichende Bedingung">notwendige Bedingungen</a>) lauten:

<msub>

<mrow>

<mfrac>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left.{\frac {\partial \,Q(\beta _{0},\,\beta _{1})}{\partial \beta _{0}}}\right|_{{\hat {\beta }}_{0}}=-2\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-\beta _{1}x_{i}\right){\overset {\mathrm {!} }{=}}\;0\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/123e8659fbcdbd855518eb69c13248c7bbd4cc89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:49.067ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \left.{\frac {\partial \,Q(\beta _{0},\,\beta _{1})}{\partial \beta _{0}}}\right|_{{\hat {\beta }}_{0}}=-2\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-\beta _{1}x_{i}\right){\overset {\mathrm {!} }{=}}\;0\quad }" loading="lazy"></dd></dl>

und

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left.{\frac {\partial \,Q(\beta _{0},\,\beta _{1})}{\partial \beta _{1}}}\right|_{{\hat {\beta }}_{1}}=-2\sum _{i=1}^{n}x_{i}\left(y_{i}-\beta _{0}-{\hat {\beta }}_{1}x_{i}\right){\overset {\mathrm {!} }{=}}\;0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/470c0a1ff6efd07400368c875405cec3d0d7bbb7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:49.261ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \left.{\frac {\partial \,Q(\beta _{0},\,\beta _{1})}{\partial \beta _{1}}}\right|_{{\hat {\beta }}_{1}}=-2\sum _{i=1}^{n}x_{i}\left(y_{i}-\beta _{0}-{\hat {\beta }}_{1}x_{i}\right){\overset {\mathrm {!} }{=}}\;0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Durch Nullsetzen der <a href="Partielle_Ableitung" title="Partielle Ableitung">partiellen Ableitungen</a> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeeccd8b585b819e38f9c1fe5e9816a3ea01804c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}}" loading="lazy"> ergeben sich die gesuchten <a href="Sch%C3%A4tzfunktion" title="Schätzfunktion">Parameterschätzer</a>, bei denen die <a href="Residuenquadratsumme" title="Residuenquadratsumme">Residuenquadratsumme</a> minimal wird:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

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<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

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</mrow>

</msub>

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</msubsup>

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</msup>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}={\frac {SP_{xy}}{SQ_{x}}}\;}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd9a8d94f9e55f9e6d500117b14b22233393243b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:37.448ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}={\frac {SP_{xy}}{SQ_{x}}}\;}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;{\hat {\beta }}_{0}={\overline {y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;{\hat {\beta }}_{0}={\overline {y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3df27c5d25dcafecff6bfb265029cd6d555a882.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.321ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \;{\hat {\beta }}_{0}={\overline {y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle SP_{xy}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle SP_{xy}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8090217d3248694cc40e3a4b1475c57609dc29e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.981ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle SP_{xy}}" loading="lazy"> die <a href="Summe_der_Abweichungsquadrate#Verallgemeinerung" title="Summe der Abweichungsquadrate">Summe der Abweichungsprodukte</a> zwischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle SQ_{x}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle SQ_{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e98727afea5c7852b8c4d43cbc05c26f61b241a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.51ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle SQ_{x}}" loading="lazy"> die <a href="Summe_der_Abweichungsquadrate" title="Summe der Abweichungsquadrate">Summe der Abweichungsquadrate</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> darstellt. Mithilfe des <a href="Verschiebungssatz_(Statistik)" title="Verschiebungssatz (Statistik)">Verschiebungssatzes von Steiner</a> lässt sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> auch wie folgt einfacher, in nicht<a href="Zentrierung_(Statistik)" title="Zentrierung (Statistik)">zentrierter</a> Form, darstellen

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i})-n{\overline {x}}{\overline {y}}}{\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-n{\overline {x}}^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6556e034560c7de2366b7c7ca32611a1fbe6c257.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:24.633ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i})-n{\overline {x}}{\overline {y}}}{\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-n{\overline {x}}^{2}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Weitere Darstellungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> erhält man, indem man die Formel in Abhängigkeit vom <a href="Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient" class="mw-redirect" title="Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient">Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{xy}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{xy}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eca3bfa846f27e4f6c993bd259805d3ce59f4882.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.038ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r_{xy}}" loading="lazy"> schreibt. Entweder als

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}={\frac {{\sqrt {\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}{\sqrt {\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\bar {y}}\right)^{2}}}}{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}r_{xy}\;}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70b14fc845644143a28ea27c6c64255334919f41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:46.164ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}={\frac {{\sqrt {\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}{\sqrt {\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\bar {y}}\right)^{2}}}}{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}r_{xy}\;}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;{\hat {\beta }}_{1}=r_{xy}{\frac {s_{y}}{s_{x}}}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;{\hat {\beta }}_{1}=r_{xy}{\frac {s_{y}}{s_{x}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6c5b8577e98bfe4e3c99a7427554fd116510b6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:12.386ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \;{\hat {\beta }}_{1}=r_{xy}{\frac {s_{y}}{s_{x}}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{x}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f738a5f93f694ded413a8f8da71081d0fdff4501.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.263ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{x}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{y}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{y}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bec93eb58677e5642c86ecdb2430703a8ee57da2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.14ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle s_{y}}" loading="lazy"> die <a href="Empirische_Standardabweichung" class="mw-redirect" title="Empirische Standardabweichung">empirischen Standardabweichungen</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> darstellen. Die letztere Darstellung impliziert, dass der Kleinste-Quadrate-Schätzer für den Anstieg <a href="Proportionalit%C3%A4t" title="Proportionalität">proportional</a> zum Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{xy}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{xy}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eca3bfa846f27e4f6c993bd259805d3ce59f4882.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.038ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r_{xy}}" loading="lazy"> ist, d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}\propto r_{xy}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}\propto r_{xy}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f63d7c6ee4e631c5030749c06f2a5daa6df2de60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.642ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}\propto r_{xy}}" loading="lazy">.

Die jeweiligen Kleinste-Quadrate-Schätzwerte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e2f57fcdff899b84dfb8790e48cd31fde3008dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> werden als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e425056f502ca07b103ffbf6ac4720e0f8a01f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.052ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b_{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9af2720c91be489f57ecde4bb651b95e113d0144.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.052ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b_{1}}" loading="lazy"> abgekürzt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Algebraische_Eigenschaften_der_Kleinste-Quadrate-Schätzer">Algebraische Eigenschaften der Kleinste-Quadrate-Schätzer</h2></div>

Aus den Formeln sind drei Eigenschaften ableitbar:

1.) Die Regressiongerade verläuft durch den Schwerpunkt bzw. durch das „Gravitationszentrum“ der Daten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb054bc4a1d95df64d1540beb0faab90b6809400.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.569ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}})}" loading="lazy">, was direkt aus der obigen Definition von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e2f57fcdff899b84dfb8790e48cd31fde3008dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}" loading="lazy"> folgt. Man sollte beachten, dass dies nur gilt, wenn ein Achsenabschnitt für die Regression verwendet wird, wie man leicht an dem Beispiel mit den zwei Datenpunkten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},y_{1})=(1,0),(x_{2},y_{2})=(2,1)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},y_{1})=(1,0),(x_{2},y_{2})=(2,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fdd99c77ae4f772b4c789545d4a9a1f56fce0cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.408ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},y_{1})=(1,0),(x_{2},y_{2})=(2,1)}" loading="lazy"> sieht.

2.) Die KQ-Regressionsgerade wird so bestimmt, dass die <a href="Residuenquadratsumme" title="Residuenquadratsumme">Residuenquadratsumme</a> zu einem Minimum wird. Äquivalent dazu bedeutet das, dass sich positive und negative Abweichungen von der Regressionsgeraden ausgleichen. Wenn das Modell der linearen Einfachregression einen – von Null verschiedenen – Achsenabschnitt enthält, dann muss also gelten, dass die Summe der Residuen Null ist (dies ist äquivalent zu der Eigenschaft, dass die gemittelten Residuen Null ergeben)<a href="#cite_note-11">[11]</a>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e994538bb7f977742d3196b378c845fa3cef207a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:10.159ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}=0}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\hat {\varepsilon }}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}=0}">

<mover>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\hat {\varepsilon }}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7a66215d16da4c62c785fbbff1443014b95a37a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:17.346ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\hat {\varepsilon }}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

<dl><dd>Oder, da sich die <a href="St%C3%B6rgr%C3%B6%C3%9Fe_und_Residuum#Residuen_als_Funktion_der_Störgrößen" title="Störgröße und Residuum">Residuen als Funktion der Störgrößen</a> darstellen lassen, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\hat {\varepsilon }}}={\overline {\varepsilon }}-({\hat {\beta }}_{0}-\beta _{0})-({\hat {\beta }}_{1}-\beta _{1}){\overline {x}}=0}">

<mover>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\hat {\varepsilon }}}={\overline {\varepsilon }}-({\hat {\beta }}_{0}-\beta _{0})-({\hat {\beta }}_{1}-\beta _{1}){\overline {x}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/649dec2bd8f7740028c795f06e42c57138e37630.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.205ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\hat {\varepsilon }}}={\overline {\varepsilon }}-({\hat {\beta }}_{0}-\beta _{0})-({\hat {\beta }}_{1}-\beta _{1}){\overline {x}}=0}" loading="lazy">. Diese Darstellung wird für die Herleitung der <a href="Erwartungstreue_Sch%C3%A4tzung_der_Varianz_der_St%C3%B6rgr%C3%B6%C3%9Fen#Einfache_lineare_Regression" title="Erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen">erwartungstreuen Schätzung der Varianz der Störgrößen</a> benötigt.</dd></dl>

3.) Die Residuen und die unabhängigen Variablen sind (unabhängig davon, ob ein Achsenabschnitt mit einbezogen wurde oder nicht) unkorreliert, d. h.

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\hat {\varepsilon }}_{i}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd8c5a1811df20722d9480a740026ae04ff643ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.288ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\hat {\varepsilon }}_{i}=0}" loading="lazy">, was direkt aus der zweiten Optimalitätsbedingung von oben folgt.</dd></dl>

<dl><dd>Die Residuen und die geschätzten Werten sind unkorreliert, d. h.</dd>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}{\hat {y}}_{i}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9724e07ca558a91bc466c07e1ae5ff185e437746.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.261ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}{\hat {y}}_{i}=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

<dl><dd>Diese Unkorreliertheit der prognostizierten Werte mit den Residuen kann so interpretiert werden, dass in der Vorhersage bereits alle relevante Information der erklärenden Variablen bezüglich der abhängigen Variablen steckt.<a href="#cite_note-12">[12]</a></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schätzfunktionen_der_Kleinste-Quadrate-Schätzer">Schätzfunktionen der Kleinste-Quadrate-Schätzer</h2></div>

Aus der Regressionsgleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dde52cd699bc5c365b59d36f1dd832bc4f68aa0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.471ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}}" loading="lazy"> lassen sich die Schätzfunktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeeccd8b585b819e38f9c1fe5e9816a3ea01804c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e2f57fcdff899b84dfb8790e48cd31fde3008dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy"> ableiten.

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(Y_{i}-{\overline {Y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}=\sum \nolimits _{i=1}^{n}w_{i}Y_{i}-{\overline {Y}}\underbrace {\sum \nolimits _{i=1}^{n}w_{i}} _{=0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf22c3f2973cab11bb2ebadd7d8a8ef477dedd06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.838ex; margin-right: -0.028ex; width:57.473ex; height:9.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(Y_{i}-{\overline {Y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}=\sum \nolimits _{i=1}^{n}w_{i}Y_{i}-{\overline {Y}}\underbrace {\sum \nolimits _{i=1}^{n}w_{i}} _{=0}}" loading="lazy"> mit der Gewichtsfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w_{i}=w_{i}(x_{i})={\frac {(x_{i}-{\overline {x}})}{\sum \nolimits _{j=1}^{n}(x_{j}-{\overline {x}})^{2}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{i}=w_{i}(x_{i})={\frac {(x_{i}-{\overline {x}})}{\sum \nolimits _{j=1}^{n}(x_{j}-{\overline {x}})^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7252d8f7cdadfff944ae68929163ba0c872ce70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:30.751ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle w_{i}=w_{i}(x_{i})={\frac {(x_{i}-{\overline {x}})}{\sum \nolimits _{j=1}^{n}(x_{j}-{\overline {x}})^{2}}}}" loading="lazy"></dd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}={\overline {Y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}}=\sum \nolimits _{i=1}^{n}({\tfrac {1}{n}}-{\overline {x}}w_{i})Y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35e54f07195cd8abd0ca8857ca3d00fb00ff498b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:36.442ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}={\overline {Y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}}=\sum \nolimits _{i=1}^{n}({\tfrac {1}{n}}-{\overline {x}}w_{i})Y_{i}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Formeln zeigen auch, dass die Schätzfunktionen der Regressionsparameter linear von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d57be496fff95ee2a97ee43c7f7fe244b4dbf8ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.15ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}}" loading="lazy"> abhängen. Unter der Annahme der Normalverteilung der Residuen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{i}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08c39629484f9a2520c4de144ba59f0c59b33857.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.647ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}" loading="lazy"> (oder wenn für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d57be496fff95ee2a97ee43c7f7fe244b4dbf8ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.15ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}}" loading="lazy"> der <a href="Zentraler_Grenzwertsatz" title="Zentraler Grenzwertsatz">zentrale Grenzwertsatz</a> erfüllt ist) folgt, dass auch die Schätzfunktionen der Regressionsparameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e2f57fcdff899b84dfb8790e48cd31fde3008dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}" loading="lazy"> zumindest approximativ normalverteilt sind:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}\;{\stackrel {a}{\sim }}\;{\mathcal {N}}(\beta _{1},\sigma _{{\hat {\beta }}_{1}}^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4178bb43d8cfb4fbb9dad81339e37eb0f02b49d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.566ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}\;{\stackrel {a}{\sim }}\;{\mathcal {N}}(\beta _{1},\sigma _{{\hat {\beta }}_{1}}^{2})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}\;{\stackrel {a}{\sim }}\;{\mathcal {N}}(\beta _{0},\sigma _{{\hat {\beta }}_{0}}^{2})}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}\;{\stackrel {a}{\sim }}\;{\mathcal {N}}(\beta _{0},\sigma _{{\hat {\beta }}_{0}}^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/150ed8b4f0dbf653fd7c8dd9983ca35f33578aa8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.566ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}\;{\stackrel {a}{\sim }}\;{\mathcal {N}}(\beta _{0},\sigma _{{\hat {\beta }}_{0}}^{2})}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Statistische_Eigenschaften_der_Kleinste-Quadrate-Schätzer">Statistische Eigenschaften der Kleinste-Quadrate-Schätzer</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Erwartungstreue_der_Kleinste-Quadrate-Schätzer">Erwartungstreue der Kleinste-Quadrate-Schätzer</h3></div>

Die Schätzfunktionen der Regressionsparameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e2f57fcdff899b84dfb8790e48cd31fde3008dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}" loading="lazy"> sind <a href="Erwartungstreue" title="Erwartungstreue">erwartungstreu</a> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeeccd8b585b819e38f9c1fe5e9816a3ea01804c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy">, d. h., es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {\beta }}_{1})=\beta _{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {\beta }}_{1})=\beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5386e1e22b06336e9e97ebfb5b96901a50d96822.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.366ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {\beta }}_{1})=\beta _{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {\beta }}_{0})=\beta _{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {\beta }}_{0})=\beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f6ed7fae2f670810ef890f28fde5a83d0f5923d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.366ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {\beta }}_{0})=\beta _{0}}" loading="lazy">. Der Kleinste-Quadrate-Schätzer liefert also „im Mittel“ die <a href="Wahrer_Wert" title="Wahrer Wert">wahren Werte</a> der <a href="Koeffizient" title="Koeffizient">Koeffizienten</a>.

Mit der Linearität des Erwartungswerts und der Voraussetzung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} (\varepsilon _{i})=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (\varepsilon _{i})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e22190efaab6968390fcfa282f9bfba8bbdcbc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.536ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (\varepsilon _{i})=0}" loading="lazy"> folgt nämlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} (Y_{i})=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (Y_{i})=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40536370119fdb2c523d8679163db6465e73d49b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.351ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (Y_{i})=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} ({\overline {Y}})=\beta _{0}+\beta _{1}{\overline {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} ({\overline {Y}})=\beta _{0}+\beta _{1}{\overline {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8001b4f9b6fe3ec9c20b2f9c43c5a9166594b3fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.679ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} ({\overline {Y}})=\beta _{0}+\beta _{1}{\overline {x}}}" loading="lazy">.

Als Erwartungswert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> ergibt sich daher:<a href="#cite_note-13">[13]</a>

<mtr>

<mtd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<mrow>

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</mrow>

</msubsup>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} ({\hat {\beta }}_{1})&=\operatorname {E} \left({\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(Y_{i}-{\overline {Y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}\right)={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})\operatorname {E} (Y_{i}-{\overline {Y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}\\&\\&={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}-(\beta _{0}+\beta _{1}{\overline {x}}))}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}=\beta _{1}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d643bb36c37eb99c992771c8298182cfa17f4a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.505ex; width:66.834ex; height:18.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} ({\hat {\beta }}_{1})&=\operatorname {E} \left({\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(Y_{i}-{\overline {Y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}\right)={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})\operatorname {E} (Y_{i}-{\overline {Y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}\\&\\&={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}-(\beta _{0}+\beta _{1}{\overline {x}}))}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}=\beta _{1}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Für den Erwartungswert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e2f57fcdff899b84dfb8790e48cd31fde3008dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}" loading="lazy"> erhält man schließlich:<a href="#cite_note-wooldridge-7">[7]</a>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

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</mover>

</mrow>

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</munder>

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</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {\beta }}_{0})=\operatorname {E} ({\overline {Y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}})=\operatorname {E} ({\overline {Y}})-\operatorname {E} ({\hat {\beta }}_{1}){\overline {x}}=\underbrace {\beta _{0}+\beta _{1}{\overline {x}}} _{=\operatorname {E} ({\overline {Y}})}-\beta _{1}{\overline {x}}=\beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42d319df58ac28fe15a117b0c8fc341dd2b7181d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.171ex; width:64.425ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {\beta }}_{0})=\operatorname {E} ({\overline {Y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}})=\operatorname {E} ({\overline {Y}})-\operatorname {E} ({\hat {\beta }}_{1}){\overline {x}}=\underbrace {\beta _{0}+\beta _{1}{\overline {x}}} _{=\operatorname {E} ({\overline {Y}})}-\beta _{1}{\overline {x}}=\beta _{0}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Varianzen_der_Kleinste-Quadrate-Schätzer">Varianzen der Kleinste-Quadrate-Schätzer</h3></div>

Die Varianzen des Achsenabschnittes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e2f57fcdff899b84dfb8790e48cd31fde3008dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}" loading="lazy"> und des Steigungsparameters <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> sind gegeben durch:<a href="#cite_note-14">[14]</a>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

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</msubsup>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{{\hat {\beta }}_{0}}^{2}=\operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{0})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}\left(1+{\frac {{\overline {x}}^{2}}{s_{x}^{2}}}\right)=\sigma ^{2}\underbrace {\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}} _{=:a_{0}}=\sigma ^{2}\cdot a_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/864ae8c99daf86edf40f8d95d3922c043745738b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.505ex; width:64.61ex; height:10.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{{\hat {\beta }}_{0}}^{2}=\operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{0})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}\left(1+{\frac {{\overline {x}}^{2}}{s_{x}^{2}}}\right)=\sigma ^{2}\underbrace {\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}} _{=:a_{0}}=\sigma ^{2}\cdot a_{0}}" loading="lazy"> und</dd></dl>

<mtr>

<mtd>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

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</msubsup>

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</msubsup>

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<mtd>

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</msubsup>

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</munder>

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</mrow>

</munder>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\;\sigma _{{\hat {\beta }}_{1}}^{2}=\operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{1})&=\operatorname {Var} \left({\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(Y_{i}-{\overline {Y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}\right)=\operatorname {Var} \left({\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})Y_{i}}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}\right)\\&\\&={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\operatorname {Var} (Y_{i})}{\left[\sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}\right]^{2}}}=\sigma ^{2}\underbrace {\frac {1}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}} _{=:a_{1}}=\sigma ^{2}\cdot a_{1}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1696de07d38947b2191c78ec72de63c97156552f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -10.171ex; width:77.236ex; height:21.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\;\sigma _{{\hat {\beta }}_{1}}^{2}=\operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{1})&=\operatorname {Var} \left({\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(Y_{i}-{\overline {Y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}\right)=\operatorname {Var} \left({\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})Y_{i}}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}\right)\\&\\&={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\operatorname {Var} (Y_{i})}{\left[\sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}\right]^{2}}}=\sigma ^{2}\underbrace {\frac {1}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}} _{=:a_{1}}=\sigma ^{2}\cdot a_{1}\end{aligned}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dabei stellt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{x}^{2}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{x}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6537d007e370193c985936650f17b5a16b3700b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.263ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s_{x}^{2}}" loading="lazy"> die <a href="Empirische_Varianz" title="Empirische Varianz">empirische Varianz</a> dar. Je größer die Streuung in der erklärenden Variablen (d. h. je größer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3063e2523a7b45788f3a43bd57154a3d85ef8d0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:15.533ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}" loading="lazy">), desto größer ist die Präzision von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e2f57fcdff899b84dfb8790e48cd31fde3008dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy">. Da die Anzahl der Terme in dem Ausdruck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3063e2523a7b45788f3a43bd57154a3d85ef8d0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:15.533ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}" loading="lazy"> umso größer ist, je größer die <a href="Stichprobengr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Stichprobengröße">Stichprobengröße</a> ist, führen größere Stichproben immer zu einer größeren Präzision. Außerdem kann man sehen: Je kleiner die Varianz der Störgrößen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53a5c55e536acf250c1d3e0f754be5692b843ef5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.385ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{2}}" loading="lazy"> ist, desto präziser sind die Schätzer.<a href="#cite_note-15">[15]</a>

Die Kovarianz von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e2f57fcdff899b84dfb8790e48cd31fde3008dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> ist gegeben durch

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Cov} ({\hat {\beta }}_{0},{\hat {\beta }}_{1})=\sigma ^{2}{\frac {-{\overline {x}}}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/500e2ba9051077dcf8dc81d059d1d168da2e809b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:32.874ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Cov} ({\hat {\beta }}_{0},{\hat {\beta }}_{1})=\sigma ^{2}{\frac {-{\overline {x}}}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Falls für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0d55d9b32f6fa8fab6a84ea444a6b5a24bb45e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.333ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle n\to \infty }" loading="lazy"> die Konsistenzbedingung

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13f40c9068736dc9167be7eda2fc3386a17808dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:21.471ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\to \infty }" loading="lazy"></dd></dl>

gilt, sind die Kleinste-Quadrate-Schätzer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e2f57fcdff899b84dfb8790e48cd31fde3008dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> <a href="Konsistente_Sch%C3%A4tzfolge" title="Konsistente Schätzfolge">konsistent</a> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeeccd8b585b819e38f9c1fe5e9816a3ea01804c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}}" loading="lazy">. Dies bedeutet, dass mit zunehmender Stichprobengröße der wahre Wert immer genauer geschätzt wird und die Varianz letztendlich verschwindet. Die Konsistenzbedingung besagt, dass die Werte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/737e02a5fbf8bc31d443c91025339f9fd1de1065.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.11ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}" loading="lazy"> hinreichend stark um ihr <a href="Arithmetisches_Mittel" title="Arithmetisches Mittel">arithmetisches Mittel</a> variieren. Nur auf diese Art und Weise kommt zusätzliche Information zur Schätzung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e2f57fcdff899b84dfb8790e48cd31fde3008dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> hinzu.<a href="#cite_note-16">[16]</a> Das Problem an den beiden Varianzformeln ist jedoch, dass die wahre Varianz der Störgrößen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53a5c55e536acf250c1d3e0f754be5692b843ef5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.385ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{2}}" loading="lazy"> unbekannt ist und somit geschätzt werden muss. Die positiven <a href="Quadratwurzel" title="Quadratwurzel">Quadratwurzeln</a> der geschätzten Varianzen werden als (geschätzte) <a href="Standardfehler_des_Regressionskoeffizienten" title="Standardfehler des Regressionskoeffizienten">Standardfehler der Regressionskoeffizienten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e2f57fcdff899b84dfb8790e48cd31fde3008dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> bezeichnet und sind wichtig für die Beurteilung der <a href="Anpassungsg%C3%BCte" title="Anpassungsgüte">Anpassungsgüte</a> (siehe auch <a href="Standardfehler#Standardfehler_der_Regressionskoeffizienten_im_einfachen_Regressionsmodell" title="Standardfehler">Standardfehler der Regressionsparameter im einfachen Regressionsmodell</a>).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schätzer_für_die_Varianz_der_Störgrößen">Schätzer für die Varianz der Störgrößen</h3></div>

Eine <a href="Erwartungstreue_Sch%C3%A4tzung_der_Varianz_der_St%C3%B6rgr%C3%B6%C3%9Fen" title="Erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen">erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen</a> ist gegeben durch<a href="#cite_note-17">[17]</a>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n-2}}\sum \limits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\beta }}_{1}x_{i})^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45c8b2326307edb8afd95e9fb300a286d7948479.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:33.082ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n-2}}\sum \limits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\beta }}_{1}x_{i})^{2}}" loading="lazy">,</dd></dl>

d. h., es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {\sigma }}^{2})=\sigma ^{2}}">

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {\sigma }}^{2})=\sigma ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0630c04db9d9ce92eb21cdbbe488606834d87aa7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.259ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {\sigma }}^{2})=\sigma ^{2}}" loading="lazy"> (für einen Beweis siehe <a href="Erwartungstreue_Sch%C3%A4tzung_der_Varianz_der_St%C3%B6rgr%C3%B6%C3%9Fen#Erwartungstreuer_Schätzer_für_die_Varianz_der_Störgrößen" title="Erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen">Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz der Störgrößen</a>). Die positive <a href="Quadratwurzel" title="Quadratwurzel">Quadratwurzel</a> dieser erwartungstreuen Schätzfunktion wird auch als <a href="Standardfehler_der_Regression" title="Standardfehler der Regression">Standardfehler der Regression</a> bezeichnet.<a href="#cite_note-18">[18]</a> Der Schätzwert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}">

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ad9d89160c9e63c0aa4c158282cb75a894de56f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.384ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}" loading="lazy"> wird auch <a href="Mittleres_Residuenquadrat" class="mw-redirect" title="Mittleres Residuenquadrat">mittleres Residuenquadrat</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle MQR}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle MQR}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0dc731d774a7b2096c328f1eb7bfe0865dcd8b8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.045ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle MQR}" loading="lazy"> genannt. Das mittlere Residuenquadrat wird benötigt, um Konfidenzintervalle für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeeccd8b585b819e38f9c1fe5e9816a3ea01804c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}}" loading="lazy"> zu bestimmen.<a href="#cite_note-19">[19]</a>

Das Ersetzen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53a5c55e536acf250c1d3e0f754be5692b843ef5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.385ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{2}}" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}">

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ad9d89160c9e63c0aa4c158282cb75a894de56f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.384ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}" loading="lazy"> in den obigen Formeln für die Varianzen der Regressionsparameter liefert die Schätzungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\widehat {\operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{0})}}\;}">

<mover>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\widehat {\operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{0})}}\;}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c90adef7441f6c90257656158f412039873aaf75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.777ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle {\widehat {\operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{0})}}\;}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;{\widehat {\operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{1})}}}">

<mover>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;{\widehat {\operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{1})}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b48f7c1481597232979b9f56f4435908cf70ed77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.777ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \;{\widehat {\operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{1})}}}" loading="lazy"> für die Varianzen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bester_lineare_erwartungstreue_Schätzer">Bester lineare erwartungstreue Schätzer</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Satz_von_Gau%C3%9F-Markow" title="Satz von Gauß-Markow">Satz von Gauß-Markow</a></div>

Es lässt sich zeigen, dass der Kleinste-Quadrate-Schätzer die beste lineare erwartungstreue Schätzfunktion darstellt. Eine erwartungstreue Schätzfunktion ist „besser“ als eine andere, wenn sie eine kleinere Varianz aufweist, da die Varianz ein Maß für die Unsicherheit ist. Somit ist die beste Schätzfunktion dadurch gekennzeichnet, dass sie eine <a href="Sch%C3%A4tzfunktion#Minimale_Varianz,_Effizienz" title="Schätzfunktion">minimale Varianz</a> und somit die geringste Unsicherheit aufweist. Diejenige Schätzfunktion, die unter den linearen erwartungstreuen Schätzfunktionen die kleinste Varianz aufweist, wird auch als bester linearer erwartungstreuer Schätzer, kurz BLES (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> Best Linear Unbiased Estimator, kurz: BLUE) bezeichnet. Für alle anderen linearen erwartungstreuen Schätzer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\beta }}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\beta }}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/feb88474af8e5fc431fa8eb004b1c1abc02fe8bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\beta }}_{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edd6725b5f45ce9f43d7df2e7ea0f8cde25bace5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> gilt somit

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{0})\leq \operatorname {Var} ({\tilde {\beta }}_{0})\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b2fff949506020dbd2c646c1617a172c74e1e25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.685ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{0})\leq \operatorname {Var} ({\tilde {\beta }}_{0})\quad }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad \operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{1})\leq \operatorname {Var} ({\tilde {\beta }}_{1})}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad \operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{1})\leq \operatorname {Var} ({\tilde {\beta }}_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef84f7462f0d7662be18f0afa42dcd51b2ce07fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.685ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \quad \operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{1})\leq \operatorname {Var} ({\tilde {\beta }}_{1})}" loading="lazy">.</dd></dl>

Auch ohne Normalverteilungsannahme ist der Kleinste-Quadrate-Schätzer ein bester linearer erwartungstreuer Schätzer.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Klassisches_lineares_Modell_der_Normalregression">Klassisches lineares Modell der Normalregression</h2></div>

Wenn man zusätzlich zu den klassischen Annahmen annimmt, dass die Störgrößen <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">normalverteilt</a> sind (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{i}\;\sim \;{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})\quad ,i=1,\ldots ,n}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}\;\sim \;{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})\quad ,i=1,\ldots ,n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b9865582e491dbc18208e458e12552ba937c17a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.93ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}\;\sim \;{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})\quad ,i=1,\ldots ,n}" loading="lazy">), dann ist es möglich statistische Inferenz (Schätzen und Testen) durchzuführen. Ein Modell, das zusätzlich die Normalverteilungsannahme erfüllt, wird <a href="Klassisches_lineares_Modell_der_Normalregression" title="Klassisches lineares Modell der Normalregression">Klassisches lineares Modell der Normalregression</a> genannt. Bei solch einem Modell können dann <a href="Konfidenzintervall" title="Konfidenzintervall">Konfidenzintervalle</a> und Tests für die Regressionsparameter konstruiert werden. Insbesondere wird bei t-Tests diese Normalverteilungsannahme benötigt, da eine <a href="Studentsche_t-Verteilung" title="Studentsche t-Verteilung">t-Verteilung</a> als Prüfgrößenverteilung herangezogen wird, die man erhält wenn man eine standardnormalverteilte Zufallsvariable durch die Quadratwurzel einer (um die Anzahl ihrer Freiheitsgrade korrigierten) Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariablen dividiert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="t-Tests">t-Tests</h3></div>

Die Normalverteilungsannahme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{i}\;\sim \;{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})\quad ,i=1,\ldots ,n}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}\;\sim \;{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})\quad ,i=1,\ldots ,n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b9865582e491dbc18208e458e12552ba937c17a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.93ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}\;\sim \;{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})\quad ,i=1,\ldots ,n}" loading="lazy"> impliziert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}\;{\sim }\;{\mathcal {N}}(\beta _{1},\sigma _{{\hat {\beta }}_{1}}^{2})}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}\;{\sim }\;{\mathcal {N}}(\beta _{1},\sigma _{{\hat {\beta }}_{1}}^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db6464fa1a2772bb12d7a34c207a0adfa5dce731.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.566ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}\;{\sim }\;{\mathcal {N}}(\beta _{1},\sigma _{{\hat {\beta }}_{1}}^{2})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}\;{\sim }\;{\mathcal {N}}(\beta _{0},\sigma _{{\hat {\beta }}_{0}}^{2})}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}\;{\sim }\;{\mathcal {N}}(\beta _{0},\sigma _{{\hat {\beta }}_{0}}^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/490975922b3ae313450a7b82b5d1e25f9d67c759.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.566ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}\;{\sim }\;{\mathcal {N}}(\beta _{0},\sigma _{{\hat {\beta }}_{0}}^{2})}" loading="lazy"> und damit ergibt sich für Achsenabschnitt und Steigung die folgende <a href="T-Statistik" title="T-Statistik">t-Statistik</a>:

<mfrac>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T={\frac {{\hat {\beta }}_{j}-\beta _{j}^{0}}{{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{j}}}}\;{\stackrel {H_{0}}{\sim }}\;{\mathcal {t}}_{(n-2)},\quad j=0,1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32651d9aca365dfb7e6f357dd2ce5c29f1ebfb22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:32.861ex; height:8.343ex;" alt="{\displaystyle T={\frac {{\hat {\beta }}_{j}-\beta _{j}^{0}}{{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{j}}}}\;{\stackrel {H_{0}}{\sim }}\;{\mathcal {t}}_{(n-2)},\quad j=0,1}" loading="lazy">.</dd></dl>

Zum Beispiel kann ein Signifikanztest durchgeführt werden, bei dem <a href="Nullhypothese" class="mw-redirect" title="Nullhypothese">Nullhypothese</a> und <a href="Alternativhypothese" class="mw-redirect" title="Alternativhypothese">Alternativhypothese</a> wie folgt <a href="Spezifikation_(Statistik)" title="Spezifikation (Statistik)">spezifiziert</a> sind: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{0}\colon \beta _{j}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}\colon \beta _{j}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa7fb0b02c2ebc72ecb3f249e7acbab70e6fd226.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.506ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H_{0}\colon \beta _{j}=0}" loading="lazy">  gegen  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}:\beta _{j}\neq 0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}:\beta _{j}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8756e1bc8eff5da3d694898685edff083fcca420.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.409ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H_{1}:\beta _{j}\neq 0}" loading="lazy">. Für die Prüfgröße gilt dann:

<mfrac>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

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<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T={\frac {{\hat {\beta }}_{j}-0}{{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{j}}}}={\frac {{\hat {\beta }}_{j}}{{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{j}}}}\;{\stackrel {H_{0}}{\sim }}\;{\mathcal {t}}_{(n-2)},\quad j=0,1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e494fa010444acba231bd945eebec806107beb6e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:38.926ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle T={\frac {{\hat {\beta }}_{j}-0}{{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{j}}}}={\frac {{\hat {\beta }}_{j}}{{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{j}}}}\;{\stackrel {H_{0}}{\sim }}\;{\mathcal {t}}_{(n-2)},\quad j=0,1}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {t}}_{(n-2)}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {t}}_{(n-2)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3bddbd3e6860ce24b727843b98edb39af2941f40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:5.438ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {t}}_{(n-2)}}" loading="lazy"> das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-\alpha /2}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-\alpha /2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d89cd111892baef3eb29d9b8943859a18ed4b9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.815ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1-\alpha /2}" loading="lazy"> der t-Verteilung mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-2)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a57c71b5e6c79de3b7fb8d7d0a918b434a160f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-2)}" loading="lazy"> Freiheitsgraden ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Konfidenzintervalle">Konfidenzintervalle</h3></div>

Um <a href="Konfidenzintervall" title="Konfidenzintervall">Konfidenzintervalle</a> für den Fall der linearen Einfachregression herzuleiten, benötigt man die Normalverteilungsannahme für die Störgrößen. Als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1-\alpha )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1-\alpha )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1dcc25f05dca60e358d4d22e8342fad5ad7affbb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.3ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1-\alpha )}" loading="lazy">-Konfidenzintervalle für die unbekannten Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeeccd8b585b819e38f9c1fe5e9816a3ea01804c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}}" loading="lazy"> erhält man:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

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</mover>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle KI_{1-\alpha }(\beta _{0})=\left[{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{0}}t_{1-\alpha /2}(n-2);{\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{0}}t_{1-\alpha /2}(n-2)\right]\;}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40fb9761008e28d654d5917e4cfe5e7fe04481a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:61.42ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle KI_{1-\alpha }(\beta _{0})=\left[{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{0}}t_{1-\alpha /2}(n-2);{\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{0}}t_{1-\alpha /2}(n-2)\right]\;}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;KI_{1-\alpha }(\beta _{1})=\left[{\hat {\beta }}_{1}-{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{1}}t_{1-\alpha /2}(n-2);{\hat {\beta }}_{1}+{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{1}}t_{1-\alpha /2}(n-2)\right]}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;KI_{1-\alpha }(\beta _{1})=\left[{\hat {\beta }}_{1}-{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{1}}t_{1-\alpha /2}(n-2);{\hat {\beta }}_{1}+{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{1}}t_{1-\alpha /2}(n-2)\right]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49486277a6713c00ad492c5573dee76cefb77ab0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:61.42ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \;KI_{1-\alpha }(\beta _{1})=\left[{\hat {\beta }}_{1}-{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{1}}t_{1-\alpha /2}(n-2);{\hat {\beta }}_{1}+{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{1}}t_{1-\alpha /2}(n-2)\right]}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{1-\alpha /2}(n-2)}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{1-\alpha /2}(n-2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e0be09af33ae4af43eabad1ae10b9803ca24bba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.075ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle t_{1-\alpha /2}(n-2)}" loading="lazy"> das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1-\alpha /2)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1-\alpha /2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/873332b163757e21463cc1fa0994b6a9dc98dc60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.625ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1-\alpha /2)}" loading="lazy">-<a href="Quantil_(Wahrscheinlichkeitstheorie)" title="Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)">Quantil</a> der <a href="Studentsche_t-Verteilung" title="Studentsche t-Verteilung">studentschen t-Verteilung</a> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-2)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a57c71b5e6c79de3b7fb8d7d0a918b434a160f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-2)}" loading="lazy"> <a href="Anzahl_der_Freiheitsgrade_(Statistik)" title="Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)">Freiheitsgraden</a> ist und die geschätzten <a href="Standardfehler" title="Standardfehler">Standardfehler</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{0}}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df9f44a06270249e1c0dc6f3f7196b65c11a10b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:3.476ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{0}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{1}}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76cc6e78d46979f8454ae58c63a38dbcf374a6d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:3.476ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{1}}}" loading="lazy"> der unbekannten Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeeccd8b585b819e38f9c1fe5e9816a3ea01804c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}}" loading="lazy"> gegeben sind durch die Quadratwurzeln der geschätzten <a href="#Varianzen_der_Kleinste-Quadrate-Schätzer">Varianzen der Kleinste-Quadrate-Schätzer</a>:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{0}}=\operatorname {SE} ({\hat {\beta }}_{0})={\sqrt {\frac {MQR\sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}\;}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65c5c527444fcc633276a88fbe7fdf255b332b55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:37.082ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{0}}=\operatorname {SE} ({\hat {\beta }}_{0})={\sqrt {\frac {MQR\sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}\;}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{1}}=\operatorname {SE} ({\hat {\beta }}_{1})={\sqrt {\frac {MQR}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{1}}=\operatorname {SE} ({\hat {\beta }}_{1})={\sqrt {\frac {MQR}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e8c80fc8ebd6f3556c22a7562ac0f3689dd0a78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:35.301ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \;{\hat {\sigma }}_{{\hat {\beta }}_{1}}=\operatorname {SE} ({\hat {\beta }}_{1})={\sqrt {\frac {MQR}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle MQR}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle MQR}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0dc731d774a7b2096c328f1eb7bfe0865dcd8b8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.045ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle MQR}" loading="lazy"> das <a href="Mittleres_Residuenquadrat" class="mw-redirect" title="Mittleres Residuenquadrat">mittlere Residuenquadrat</a> darstellt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vorhersage">Vorhersage</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Vorhersagemodell" title="Vorhersagemodell">Vorhersagemodell</a></div>

Oft ist man daran interessiert für einen neuen Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> die (Realisierung) der abhängigen Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d943dbbb0b56ca750c4d62c5b54b4ae29a773da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{0}}" loading="lazy"> zu schätzen. Beispielsweise könnte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> der geplante Preis eines Produktes sein und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d943dbbb0b56ca750c4d62c5b54b4ae29a773da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{0}}" loading="lazy"> der Absatz sein. In diesem Fall nimmt man das gleiche einfache Regressionsmodell wie oben dargestellt an.

Für eine neue Beobachtung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d943dbbb0b56ca750c4d62c5b54b4ae29a773da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{0}}" loading="lazy"> mit dem Wert der unabhängigen Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> ist die Vorhersage basierend auf der einfachen linearen Regression gegeben durch

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {y}}_{0}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1404e45cefe5540599210ac19406c14d3250f468.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.69ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {y}}_{0}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x_{0}}" loading="lazy"></dd></dl>

Da man den Wert der abhängigen Variablen nie genau vorhersehen kann, ergibt sich immer ein <a href="Sch%C3%A4tzfehler" title="Schätzfehler">Schätzfehler</a>. Dieser Fehler wird als <a href="Prognosefehler" class="mw-redirect" title="Prognosefehler">Vorhersagefehler</a> bezeichnet und ergibt sich aus

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {y}}_{0}-y_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22a38c5e6f76532af96a4a52a61ab9afb89560b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.39ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {y}}_{0}-y_{0}}" loading="lazy"></dd></dl>

Im Fall der einfachen linearen Regression ergibt sich für den Erwartungswert und die Varianz des Vorhersagefehlers:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {y}}_{0}-y_{0})=0\;}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17cc6e3c86ceae5885dade5e9ed4cee6ddfa064e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.689ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} ({\hat {y}}_{0}-y_{0})=0\;}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;\sigma _{0}^{2}=\operatorname {Var} ({\hat {y}}_{0}-y_{0})=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {(x_{0}-{\overline {x}})^{2}}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\right)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;\sigma _{0}^{2}=\operatorname {Var} ({\hat {y}}_{0}-y_{0})=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {(x_{0}-{\overline {x}})^{2}}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6311ed946f37c33e702deb3302dc0f6d2395117f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:53.239ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \;\sigma _{0}^{2}=\operatorname {Var} ({\hat {y}}_{0}-y_{0})=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {(x_{0}-{\overline {x}})^{2}}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\right)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Bei Punktvorhersagen dient die Angabe eines Vorhersageintervalls dazu, die Vorhersagepräzision und -sicherheit auszudrücken. Mit Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1-\alpha )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1-\alpha )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1dcc25f05dca60e358d4d22e8342fad5ad7affbb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.3ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1-\alpha )}" loading="lazy"> wird die Variable an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> einen Wert annehmen, der in folgendem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1-\alpha )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1-\alpha )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1dcc25f05dca60e358d4d22e8342fad5ad7affbb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.3ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1-\alpha )}" loading="lazy">-Vorhersageintervall liegt<a href="#cite_note-20">[20]</a><a href="#cite_note-21">[21]</a>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {y}}_{0}\pm t_{(1-\alpha /2)}(n-2)\cdot {\sqrt {{\hat {\sigma }}^{2}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {(x_{0}-{\overline {x}})^{2}}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\right)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f4a1c89c975f71a6d9536cace5b9ae8a1f0be2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:54.679ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {y}}_{0}\pm t_{(1-\alpha /2)}(n-2)\cdot {\sqrt {{\hat {\sigma }}^{2}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {(x_{0}-{\overline {x}})^{2}}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\right)}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Aus dieser Form des Konfidenzintervalls erkennt man sofort, dass das Konfidenzintervall breiter wird, wenn sich die unabhängige Vorhersagevariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> vom „Gravitationszentrum“ der Daten entfernt. Schätzungen der abhängigen Variablen sollten also im Beobachtungsraum der Daten liegen, sonst werden sie sehr unzuverlässig.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kausalität_und_Regressionsrichtung">Kausalität und Regressionsrichtung</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Kausalit%C3%A4t" title="Kausalität">Kausalität</a></div>

Wie in der statistischen Literatur immer wieder betont wird, ist ein hoher Wert des <a href="Korrelationskoeffizient" class="mw-redirect" title="Korrelationskoeffizient">Korrelationskoeffizienten</a> zweier Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> allein noch kein hinreichender Beleg für den <a href="Kausalit%C3%A4t" title="Kausalität">kausalen</a> (d. h. ursächlichen) Zusammenhang von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy">, ebenso wenig für dessen mögliche Richtung. Es ist hier nämlich ein <a href="Fehlschluss" title="Fehlschluss">Fehlschluss</a> der Art <a href="Cum_hoc_ergo_propter_hoc" title="Cum hoc ergo propter hoc">cum hoc ergo propter hoc</a> möglich.

Anders als gemeinhin beschrieben, sollte man es daher bei der linearen Regression zweier Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> stets mit nicht nur einer, sondern zwei voneinander unabhängigen Regressionsgeraden zu tun haben: der ersten für die vermutete lineare Abhängigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=g_{x}(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=g_{x}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d2458a0965ee5eebc66ca076868017a3b8cd906.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.674ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=g_{x}(x)}" loading="lazy"> (Regression von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">), der zweiten für die nicht minder mögliche Abhängigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=g_{y}(y)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=g_{y}(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec0baf900dec69786eb81685469b48f18ba53f8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.551ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x=g_{y}(y)}" loading="lazy"> (Regression von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy">).<a href="#cite_note-22">[22]</a>

Bezeichnet man die Richtung der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Achse als Horizontale und die der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Achse als Vertikale, läuft die Berechnung des Regressionsparameter also im ersten Fall auf das üblicherweise bestimmte Minimum der vertikalen quadratischen Abweichungen hinaus, im zweiten Fall dagegen auf das Minimum der horizontalen quadratischen Abweichungen.

Rein äußerlich betrachtet bilden die beiden Regressionsgeraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=g_{x}(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=g_{x}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d2458a0965ee5eebc66ca076868017a3b8cd906.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.674ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=g_{x}(x)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=g_{y}(y)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=g_{y}(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec0baf900dec69786eb81685469b48f18ba53f8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.551ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x=g_{y}(y)}" loading="lazy"> eine Schere, deren Schnitt- und Angelpunkt der Schwerpunkt der Daten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P({\overline {x}}|{\overline {y}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P({\overline {x}}|{\overline {y}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e294206d842701a6a4e90a143e3905adb7546f80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.927ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P({\overline {x}}|{\overline {y}})}" loading="lazy"> ist. Je weiter sich diese Schere öffnet, desto geringer ist die <a href="Korrelation" title="Korrelation">Korrelation</a> beider Variablen, bis hin zur <a href="Orthogonalit%C3%A4t" title="Orthogonalität">Orthogonalität</a> beider Regressionsgeraden, zahlenmäßig ausgedrückt durch den Korrelationskoeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> bzw. <a href="Schnittwinkel_(Geometrie)" title="Schnittwinkel (Geometrie)">Schnittwinkel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 90^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 90^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c326d317eddef3ad3e6625e018a708e290a039f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 90^{\circ }}" loading="lazy">.

Umgekehrt nimmt die Korrelation beider Variablen umso mehr zu, je mehr sich die Schere schließt – bei <a href="Kollinearit%C3%A4t" title="Kollinearität">Kollinearität</a> der <a href="Richtungsvektor" class="mw-redirect" title="Richtungsvektor">Richtungsvektoren</a> beider Regressionsgeraden schließlich, also dann, wenn beide bildlich übereinander liegen, nimmt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{xy}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{xy}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eca3bfa846f27e4f6c993bd259805d3ce59f4882.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.038ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r_{xy}}" loading="lazy"> je nach <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a> der Kovarianz den Maximalwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d04cf05c67d41d9f39dabf6a90722ce860a76958.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle +1}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1}" loading="lazy"> an, was bedeutet, dass zwischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> ein streng linearer Zusammenhang besteht und sich (wohlgemerkt nur in diesem einen einzigen Fall) die Berechnung einer zweiten Regressionsgeraden erübrigt.

Wie der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen, haben die Gleichungen der beiden Regressionsgeraden große formale Ähnlichkeit, etwa, was ihre Anstiege <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{\hat {\beta }}_{2}}_{x}}">

<msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{\hat {\beta }}_{2}}_{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d26ee4020b4d72775e8016e5d1ab243a7df946df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.678ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {{\hat {\beta }}_{2}}_{x}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{\hat {\beta }}_{2}}_{y}}">

<msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{\hat {\beta }}_{2}}_{y}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03387b16d063fe29c112487b71ddac7018719f60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.555ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {{\hat {\beta }}_{2}}_{y}}" loading="lazy"> angeht, die gleich den jeweiligen Regressionsparameter sind und sich nur durch ihre Nenner unterscheiden: im ersten Fall die Varianz von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">, im zweiten die von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy">:

<th>Regression von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">

</th>

<th>Zusammenhangsmaße

</th>

<th>Regression von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy">

</th></tr>

<tr>

<th>Regressionskoeffizient<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{x}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/637fffcef22dfd18cea8c8bb4d1a43e85b1ba557.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle _{x}}" loading="lazy">

</th>

<th>Produkt-Moment-Korrelation

</th>

<th>Regressionskoeffizient<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{y}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{y}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13abdcd7a3c5eee5207d290b471e0491a1090dd2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{y}}" loading="lazy">

</th></tr>

<tr>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\beta _{1}}_{x}={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\operatorname {Var} (X)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/96b15c210e9a185f465a1bdb5a2c6b85e7903174.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:18.142ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\beta _{1}}_{x}={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\operatorname {Var} (X)}}}" loading="lazy">

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho _{X,Y}={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)\cdot \operatorname {Var} (Y)}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb2fd225169521bdfcd10e70b282d5e766aad645.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:27.489ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \rho _{X,Y}={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)\cdot \operatorname {Var} (Y)}}}}" loading="lazy">

</td>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\beta _{1}}_{y}={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\operatorname {Var} (Y)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9600e9360e96d2e95a94c1d54949a68880e08b6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:18.018ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\beta _{1}}_{y}={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\operatorname {Var} (Y)}}}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<th>Empirischer Regressionskoeffizient<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{x}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/637fffcef22dfd18cea8c8bb4d1a43e85b1ba557.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle _{x}}" loading="lazy">

</th>

<th>Empirischer Korrelationskoeffizient

</th>

<th>Empirischer Regressionskoeffizient<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{y}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{y}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13abdcd7a3c5eee5207d290b471e0491a1090dd2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{y}}" loading="lazy">

</th></tr>

<tr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{{\hat {\beta }}_{1}}_{x}&={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\\{{\hat {\beta }}_{0}}_{x}&={\overline {y}}-{\hat {\beta _{1}}}_{x}{\overline {x}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb6023be39c8a9f81e66b9f07c2248773d6e1cf4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:29.812ex; height:10.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{{\hat {\beta }}_{1}}_{x}&={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\\{{\hat {\beta }}_{0}}_{x}&={\overline {y}}-{\hat {\beta _{1}}}_{x}{\overline {x}}\end{aligned}}}" loading="lazy">

</td>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}r_{xy}&={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}{\sqrt {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\cdot \sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89ca6fff8744b2e3e93c2094f6543044857c30cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:40.637ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}r_{xy}&={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}{\sqrt {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\cdot \sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}}\end{aligned}}}" loading="lazy">

</td>

<mtr>

<mtd>

<msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{{\hat {\beta }}_{1}}_{y}&={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}\\{{\hat {\beta }}_{0}}_{y}&={\overline {x}}-{\hat {\beta _{1}}}_{y}{\overline {y}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0950fd2a678e1b712a7faf2debe573a6500ecfb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.838ex; width:29.688ex; height:10.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{{\hat {\beta }}_{1}}_{y}&={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}\\{{\hat {\beta }}_{0}}_{y}&={\overline {x}}-{\hat {\beta _{1}}}_{y}{\overline {y}}\end{aligned}}}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<th>Regressionsgerade<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{x}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/637fffcef22dfd18cea8c8bb4d1a43e85b1ba557.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle _{x}}" loading="lazy">

</th>

<th>Bestimmtheitsmaß

</th>

<th>Regressionsgerade<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{y}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{y}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13abdcd7a3c5eee5207d290b471e0491a1090dd2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{y}}" loading="lazy">

</th></tr>

<tr>

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {y}}&={{\hat {\beta }}_{0}}_{x}+{{\hat {\beta }}_{1}}_{x}\cdot x\\&={\overline {y}}+{{\hat {\beta }}_{1}}_{x}\cdot (x-{\overline {x}})\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94c32cbdde512ea7b463f9d3aa1bf968456d83ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:22.055ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {y}}&={{\hat {\beta }}_{0}}_{x}+{{\hat {\beta }}_{1}}_{x}\cdot x\\&={\overline {y}}+{{\hat {\beta }}_{1}}_{x}\cdot (x-{\overline {x}})\end{aligned}}}" loading="lazy">

</td>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{2}=r_{xy}^{2}={{\hat {\beta }}_{1}}_{x}{{\hat {\beta }}_{1}}_{y}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb06495dba10fcfdc24bac977a55f08b05d2b787.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:19.286ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle R^{2}=r_{xy}^{2}={{\hat {\beta }}_{1}}_{x}{{\hat {\beta }}_{1}}_{y}}" loading="lazy">

</td>

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={{\hat {\beta }}_{0}}_{y}+{{\hat {\beta }}_{1}}_{y}\cdot y\\&={\overline {x}}+{{\hat {\beta }}_{1}}_{y}\cdot (y-{\overline {y}})\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/258dbbd6ee9b7834994b9846bc88c8f154ec7115.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:21.785ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={{\hat {\beta }}_{0}}_{y}+{{\hat {\beta }}_{1}}_{y}\cdot y\\&={\overline {x}}+{{\hat {\beta }}_{1}}_{y}\cdot (y-{\overline {y}})\end{aligned}}}" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table>

Zu erkennen ist außerdem die mathematische Mittelstellung des Korrelationskoeffizienten und seines Quadrats, des Bestimmtheitsmaßes, gegenüber den beiden Regressionsparameter, dadurch entstehend, dass man anstelle der Varianzen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> deren <a href="Geometrisches_Mittel" title="Geometrisches Mittel">geometrisches Mittel</a>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt {\operatorname {Var} (X)\cdot \operatorname {Var} (Y)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88a539abee60ff5ea343fd182f31e9120f6fbb2d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:27.527ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt {\operatorname {Var} (X)\cdot \operatorname {Var} (Y)}}}" loading="lazy"></dd></dl>

in den Nenner setzt.

Betrachtet man die Differenzen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{i}-{\overline {x}})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{i}-{\overline {x}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23071d1bef1f67639d427276ee54c0888cf2072d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.224ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{i}-{\overline {x}})}" loading="lazy"> als Komponenten eines <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen Vektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {x} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32adf004df5eb0a8c7fd8c0b6b7405183c5a5ef2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.411ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} }" loading="lazy"> und die Differenzen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (y_{i}-{\overline {y}})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (y_{i}-{\overline {y}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6484c206640758a3ad8304337720ae3a5833b03d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.87ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (y_{i}-{\overline {y}})}" loading="lazy"> als Komponenten eines <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen Vektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {y} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {y} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb25a040b592282dc2a254c3117e792c3c81161f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.411ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {y} }" loading="lazy">, lässt sich der <a href="Empirischer_Korrelationskoeffizient" class="mw-redirect" title="Empirischer Korrelationskoeffizient">empirische Korrelationskoeffizient</a> schließlich auch als <a href="Kosinus" class="mw-redirect" title="Kosinus">Kosinus</a> des von beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }" loading="lazy"> interpretieren:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{xy}:={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})\cdot (y_{i}-{\overline {y}})}{{\sqrt {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}}}={\frac {\mathbf {x} \circ \mathbf {y} }{|\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |}}=\cos \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0edf1be8fbb4b9d9b69d5bc77e863fbcbca4daee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:61.566ex; height:8.676ex;" alt="{\displaystyle r_{xy}:={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})\cdot (y_{i}-{\overline {y}})}{{\sqrt {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}}}={\frac {\mathbf {x} \circ \mathbf {y} }{|\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |}}=\cos \theta }" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lineare_Einfachregression_durch_den_Ursprung">Lineare Einfachregression durch den Ursprung</h2></div>

Im Fall der einfachen linearen Regression durch den Ursprung bzw. Regression ohne Achsenabschnitt (der Achsenabschnitt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b42f71f244103a8fca3c76885c7580a92831c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}}" loading="lazy"> wird nicht in die Regression miteinbezogen, und daher verläuft die Regressionsgerade durch den <a href="Koordinatenursprung" class="mw-redirect" title="Koordinatenursprung">Koordinatenursprung</a>) lautet die konkrete empirische Regressionsgleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {y}}={\tilde {\beta }}_{1}x}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {y}}={\tilde {\beta }}_{1}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e90e7338afe9f978d5791d50850bf0998ece1a52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.236ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {y}}={\tilde {\beta }}_{1}x}" loading="lazy">, wobei die Notation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {y}},{\tilde {\beta }}_{1}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {y}},{\tilde {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaefa00f577287d0065d74b16d5cf3f9d48a7298.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.842ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {y}},{\tilde {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> benutzt wird um von der allgemeinen Problemstellung der Schätzung eines Steigungsparameters mit Hinzunahme eines Achsenabschnitts zu unterscheiden. Manchmal ist es angebracht, die Regressionsgerade durch den Ursprung zu legen, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> als proportional angenommen werden. Auch in diesem Spezialfall lässt sich die Kleinste-Quadrate-Schätzung anwenden. Sie liefert für die Steigung

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\tilde {\beta }}_{1}={\frac {\textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{\textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c6b2f4109a774e2cb86355dab123f82db331b09.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:16.25ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\tilde {\beta }}_{1}={\frac {\textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{\textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dieser Schätzer für den Steigungsparameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edd6725b5f45ce9f43d7df2e7ea0f8cde25bace5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> entspricht dem Schätzer für den Steigungsparameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy">, dann und nur dann wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}=0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/897ecebad56204626e979f6645cf5a0c54cb3ccf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.706ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}=0}" loading="lazy">. Wenn für den wahren Achsenabschnitt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{0}\neq 0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{0}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9cd42ca68c0fff34a5f4faa795c12c1ade98ab4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.631ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \beta _{0}\neq 0}" loading="lazy"> gilt, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edd6725b5f45ce9f43d7df2e7ea0f8cde25bace5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> ein <a href="Verzerrung_einer_Sch%C3%A4tzfunktion" title="Verzerrung einer Schätzfunktion">verzerrter Schätzer</a> für den wahren Steigungsparameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeeccd8b585b819e38f9c1fe5e9816a3ea01804c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.37ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{1}}" loading="lazy">. Für die lineare Einfachregression durch den Ursprung muss ein anderes Bestimmtheitsmaß definiert werden, da das gewöhnliche Bestimmtheitsmaß bei einer Regression durch den Ursprung negativ werden kann (siehe <a href="Bestimmtheitsma%C3%9F#Einfache_lineare_Regression_durch_den_Ursprung" title="Bestimmtheitsmaß">Bestimmtheitsmaß#Einfache lineare Regression durch den Ursprung</a>).<a href="#cite_note-23">[23]</a> Die Varianz von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccfedf91627bd6708e998fa75e76461c406a2e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.506ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}" loading="lazy"> ist gegeben durch

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{1})={\frac {\sigma ^{2}}{\textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14e3b41da2481e5f69c20b20a856aaaf9f8132a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:20.192ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\beta }}_{1})={\frac {\sigma ^{2}}{\textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Diese Varianz wird minimal wenn die Summe im Nenner maximal wird.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Matrixschreibweise">Matrixschreibweise</h2></div>

Der Modellcharakter des einfachen linearen Regressionsmodells wird besonders in der Matrixschreibweise mit der <a href="Datenmatrix" title="Datenmatrix">Datenmatrix</a> deutlich:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d0cb6f6c07811a61ec22849b4521fd0363878ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.133ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}}" loading="lazy"> (<a href="Wahres_Modell" title="Wahres Modell">wahres Modell</a>).</dd></dl>

mit

<mrow>

<mtr>

<mtd>

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</mtr>

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<mtd>

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</mtable>

</mrow>

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</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\\\vdots &\vdots \\1&x_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\vdots \\\varepsilon _{n}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75ab9860fff75e4436db9ced8199d0099a6d3e19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.338ex; width:37.629ex; height:13.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\\\vdots &\vdots \\1&x_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\vdots \\\varepsilon _{n}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Darstellung erleichtert die Verallgemeinerung auf mehrere Einflussgrößen (multiple lineare Regression).<a href="#cite_note-24">[24]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verhältnis_zur_multiplen_linearen_Regression">Verhältnis zur multiplen linearen Regression</h2></div>

Die lineare Einfachregression ist ein Spezialfall der <a href="Multiple_lineare_Regression" title="Multiple lineare Regression">multiplen linearen Regression</a>. Das multiple lineare Regressionsmodell

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i1}+\beta _{2}x_{i2}+\ldots +\beta _{k}x_{ik}+\varepsilon _{i}=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}+\varepsilon _{i}\quad i=1,\ldots ,n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a49dd3860980f426c0f4066d901d9b4039d830.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:68.485ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i1}+\beta _{2}x_{i2}+\ldots +\beta _{k}x_{ik}+\varepsilon _{i}=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}+\varepsilon _{i}\quad i=1,\ldots ,n}" loading="lazy">,</dd></dl>

ist eine Verallgemeinerung der linearen Einfachregression bzgl. der Anzahl der Regressoren. Hierbei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=k+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=k+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1be43960847699b78dbedcfe85bc22ac5d359245.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:9.571ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=k+1}" loading="lazy"> die Anzahl der Regressionsparameter. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d62e4100b94c1939c67f2d4b8580d26c78106c44.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.52ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=2}" loading="lazy">, ergibt sich die lineare Einfachregression.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lineare_Einfachregression_in_R">Lineare Einfachregression in R</h2></div>

Als einfaches Beispiel wird der <a href="Korrelationskoeffizient" class="mw-redirect" title="Korrelationskoeffizient">Korrelationskoeffizient</a> zweier Datenreihen berechnet:

<div class="mw-highlight mw-highlight-lang-r mw-content-ltr" dir="ltr"><pre># Groesse wird als numerischer Vektor

# durch den Zuweisungsoperator "<-" definiert:

Groesse <- c(176, 166, 172, 184, 179, 170, 176)

# Gewicht wird als numerischer Vektor definiert:

Gewicht <- c(65, 55, 67, 82, 75, 65, 75)

# Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Pearson mit der Funktion "cor":

cor(Gewicht, Groesse, method = "pearson")

</pre></div>

Das Ergebnis lautet 0.9295038.

Mithilfe der <a href="R_(Programmiersprache)" title="R (Programmiersprache)">Statistiksoftware R</a> kann eine lineare Einfachregression durchgeführt werden. Dies kann in R durch die Funktion lm ausgeführt werden, wobei die abhängige Variable von den unabhängigen Variablen durch die Tilde getrennt wird. Die Funktion summary gibt die Koeffizienten der Regression und weitere Statistiken hierzu aus:

<div class="mw-highlight mw-highlight-lang-r mw-content-ltr" dir="ltr"><pre># Lineare Regression mit Gewicht als Zielvariable

# Ergebnis wird als reg gespeichert:

reg <- lm(Gewicht~Groesse)

# Ausgabe der Ergebnisse der obigen linearen Regression:

summary(reg)

</pre></div>

Diagramme lassen sich einfach erzeugen:

<div class="mw-highlight mw-highlight-lang-r mw-content-ltr" dir="ltr"><pre># Streudiagramm der Daten:

plot(Gewicht~Groesse)

# Regressionsgerade hinzufügen:

abline(reg)

</pre></div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Statistik:_Regressionsanalyse" class="extiw external" title="b:Statistik: Regressionsanalyse">Wikibooks: Einführung in die Regressionsrechnung</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Linear_regression?uselang=de">Commons: Lineare Regression</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, <a href="Helmut_L%C3%BCtkepohl" title="Helmut Lütkepohl">Helmut Lütkepohl</a>, T.C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, ISBN 978-0-471-62414-1, second edition 1988.</li>

<li>Norman R. Draper, Harry Smith: Applied Regression Analysis. Wiley, New York 1998.</li>

<li><a href="Ludwig_von_Auer" title="Ludwig von Auer">Ludwig von Auer</a>: Ökonometrie. Eine Einführung. Springer, ISBN 978-3-642-40209-8, 6. durchges. u. aktualisierte Aufl. 2013</li>

<li><a href="Ludwig_Fahrmeir" title="Ludwig Fahrmeir">Ludwig Fahrmeir</a>, <a href="Thomas_Kneib" title="Thomas Kneib">Thomas Kneib</a>, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2</li>

<li>Peter Schönfeld: Methoden der <a href="%C3%96konometrie" title="Ökonometrie">Ökonometrie</a>. Berlin / Frankfurt 1969.</li>

<li>Dieter Urban, Jochen Mayerl: Regressionsanalyse: Theorie, Technik und Anwendung. 2., überarb. Auflage. VS Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 3-531-33739-4.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang: <cite style="font-style:italic">Regression</cite>. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-642-01836-7, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-01837-4">10.1007/978-3-642-01837-4</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://link.springer.com/10.1007/978-3-642-01837-4">springer.com</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lineare+Einfachregression&rft.au=Ludwig+Fahrmeir%2C+Thomas+Kneib%2C+Stefan+Lang&rft.btitle=Regression&rft.date=2009&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-01837-4&rft.genre=book&rft.isbn=9783642018367&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer+Berlin+Heidelberg" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> W. Zucchini, A. Schlegel, O. Nenadíc, S. Sperlich: Statistik für Bachelor- und Masterstudenten.

</li>

<li id="cite_note-Auer49-3">↑ <a href="#cite_ref-Auer49_3-0">a</a> <a href="#cite_ref-Auer49_3-1">b</a> <a href="Ludwig_von_Auer" title="Ludwig von Auer">Ludwig von Auer</a>: Ökonometrie. Eine Einführung. Springer, ISBN 978-3-642-40209-8, 6., durchges. u. aktualisierte Auflage. 2013, S. 49.

</li>

<li id="cite_note-JW-4">↑ <a href="#cite_ref-JW_4-0">a</a> <a href="#cite_ref-JW_4-1">b</a> <a href="Jeffrey_Marc_Wooldridge" class="mw-redirect" title="Jeffrey Marc Wooldridge">Jeffrey Marc Wooldridge</a>: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education 2015, S. 59.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Karl Mosler und Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Springer-Verlag, 2011, S. 292.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education 2015, S. 24.

</li>

<li id="cite_note-wooldridge-7">↑ <a href="#cite_ref-wooldridge_7-0">a</a> <a href="#cite_ref-wooldridge_7-1">b</a> Jeffrey Wooldridge: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Introductory Econometrics: A Modern Approach</cite>. 5. internationale Auflage. South-Western, Mason, OH 2013, ISBN 978-1-111-53439-4, S. 113–114 (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Lineare+Einfachregression&rft.au=Jeffrey+Wooldridge&rft.btitle=Introductory+Econometrics%3A+A+Modern+Approach&rft.date=2013&rft.edition=5.+internationale&rft.genre=book&rft.isbn=9781111534394&rft.pages=113-114&rft.place=Mason%2C+OH&rft.pub=South-Western" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> J. F. Kenney, E. S. Keeping: Linear Regression and Correlation. In: Mathematics of Statistics. Pt. 1, 3. Auflage. Van Nostrand, Princeton, NJ 1962, S. 252–285.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> <a href="Rainer_Schlittgen" title="Rainer Schlittgen">Rainer Schlittgen</a>: Regressionsanalysen mit R. 2013, ISBN 978-3-486-73967-1, S. 4 (abgerufen über <a href="Verlag_Walter_de_Gruyter" class="mw-redirect" title="Verlag Walter de Gruyter">De Gruyter</a> Online).

</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arg \min(\cdot )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb434d86e8dbcc6f54670256921ea811a756892d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.955ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \arg \min(\cdot )}" loading="lazy"> bezeichnet analog zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arg \max(\cdot )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arg \max(\cdot )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a5ad811c5c5032c3299acb87d4ff7aed9dbe7e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.406ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \arg \max(\cdot )}" loading="lazy">(<a href="Arg_max" title="Arg max">Argument des Maximums</a>) das Argument des Minimums

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Manfred Precht und Roland Kraft: Bio-Statistik 2: Hypothesentests–Varianzanalyse–Nichtparametrische Statistik–Analyse von Kontingenztafeln–Korrelationsanalyse–Regressionsanalyse–Zeitreihenanalyse–Programmbeispiele in MINITAB, STATA, N, StatXact und TESTIMATE: 5., völlig überarb. Aufl. Reprint 2015, De Gruyter, Berlin Juni 2015, ISBN 978-3-486-78352-0 (abgerufen über <a href="Verlag_Walter_de_Gruyter" class="mw-redirect" title="Verlag Walter de Gruyter">De Gruyter</a> Online), S. 299.

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. 2013, ISBN 978-3-486-73967-1, S. 27 (abgerufen über <a href="Verlag_Walter_de_Gruyter" class="mw-redirect" title="Verlag Walter de Gruyter">De Gruyter</a> Online).

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2013, 3. Auflage, S. 326.

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2013, 3. Auflage, S. 326.

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, <a href="Helmut_L%C3%BCtkepohl" title="Helmut Lütkepohl">Helmut Lütkepohl</a>, T. C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York / Chichester / Brisbane / Toronto / Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 168.

</li>

<li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> <a href="Ludwig_Fahrmeir" title="Ludwig Fahrmeir">Ludwig Fahrmeir</a>, Rita Künstler, <a href="Iris_Pigeot" title="Iris Pigeot">Iris Pigeot</a>, <a href="Gerhard_Tutz" title="Gerhard Tutz">Gerhard Tutz</a>: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 443.

</li>

<li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education 2015

</li>

<li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> Karl Mosler und Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Springer-Verlag, 2011, S. 308.

</li>

<li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2013, 3. Auflage, S. 313.

</li>

<li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. 2013, ISBN 978-3-486-73967-1, S. 13 (abgerufen über <a href="Verlag_Walter_de_Gruyter" class="mw-redirect" title="Verlag Walter de Gruyter">De Gruyter</a> Online).

</li>

<li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> <a href="Ludwig_von_Auer" title="Ludwig von Auer">Ludwig von Auer</a>: Ökonometrie. Eine Einführung. Springer, ISBN 978-3-642-40209-8, 6., durchges. u. aktualisierte Auflage. 2013, S. 135.

</li>

<li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, <a href="Herbert_K%C3%A4stner" title="Herbert Kästner">Herbert Kästner</a> (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 669–670.

</li>

<li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 4. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 57.

</li>

<li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">↑</a> <a href="Lothar_Sachs" title="Lothar Sachs">Lothar Sachs</a>, Jürgen Hedderich: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-56657-2, S. 801

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</body></html>